不会出有关可微的判定的题目

高等数学

函数、极限、连续

考试内容

函数-函数的概念及表示法

函数-函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

函数-复合函数、反函数、分段函数和隐函数

函数-基本初等函数的性质及其图形

函数-初等函数

函数-函数关系的建立

极限-数列极限与函数极限的定义及其性质

数列极限的定义

$\lim_{x \to \cdot}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists \delta > 0,\text{当}0< \lvert x - \cdot\rvert < \delta \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

函数极限的性质

是常数： $\lim_{x \to \cdot}f(x) = A$
唯一性：左极限等于右极限
局部有界性
保号性
等式脱帽法

极限-函数的左极限和右极限

极限-无穷小量和无穷大量的概念及其关系

极限-无穷小量的性质及无穷小量的比较

无穷小的比较

极限-极限的四则运算

极限-极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则

极限-两个重要极限:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{sin x}{x} = 1, \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty } (1 + \dfrac{1}{x})^x = e$

函数-函数连续的概念

函数-函数同断点的类型

函数-初等函数的连续性

函数-闭区间上连续函数的性质

考试要求

理解函数的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 函数的表示法，会建立应用问题的函数关系

$\color{green}{\text{了解}}$ 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

理解复合函数及分段函数的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 反函数及隐函数的概念

$\color{red}{\text{掌握}}$ 基本初等函数的性质及其图形， $\color{green}{\text{了解}}$ 初等函数的概念

理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系

$\color{red}{\text{掌握}}$ 极限的性质及四则运算法则

$\color{red}{\text{掌握}}$ 极限存在的两个准则，并会利用它们求极限， $\color{red}{\text{掌握}}$ 利用两个重要极限求极限的方法

理解无穷小量、无穷大量的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限

理解函数连续性的概念（含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型

$\color{green}{\text{了解}}$ 连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质

一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念

导数的几何意义和物理意义

函数的可导性与连续性之间的关系

有界，可积，连续，可导，可微之间的联系

可导一定连续，连续不一定可导

平面曲线的切线和法线

导数和微分的四则运算

基本初等函数的导数

复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

高阶导数

一阶微分形式的不变性

微分中值定理

洛必达(L’Hospital)法则

函数单调性的判别

函数的极值

函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

凹凸性的定义
判别凹凸性的一个充分条件
拐点的三个充分条件和一个必要条件
铅锤渐近线、水平渐近线、斜渐近线（f(x)是和x的同阶无穷大）

凹凸性的定义

拐点定义

函数图形的描绘

函数的最大值与最小值

极值与最值的概念

弧微分

曲率的概念

曲率圆与曲率半径

考试要求

理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义， $\color{red}{\text{会求}}$ 平面曲线的切线方程和法线方程， $\color{green}{\text{了解}}$ 导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系

平面曲线的切线方程和法线方程

$\color{red}{\text{掌握}}$ 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则， $\color{red}{\text{掌握}}$ 基本初等函数的导数公式. $\color{green}{\text{了解}}$ 微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性， $\color{red}{\text{会求}}$ 函数的微分

导数的四则运算法则

复合函数的导数与微分形式不变性

$\color{green}{\text{了解}}$ 高阶导数的概念， $\color{red}{\text{会求}}$ 简单函数的高阶导数

归纳
莱布尼茨
泰勒展开

高阶导数求导，莱布尼茨

参数方程和反函数的二阶导数

$\color{red}{\text{会求}}$ 分段函数的导数， $\color{red}{\text{会求}}$ 隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数

分段函数的导数原理

参数方程求导原理

反函数求导原理

对数求导法和幂指函数求导法

理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理， $\color{green}{\text{了解}}$ 并会用柯西(Cauchy)中值定理

拉格朗日中值定理的题目

$\color{red}{\text{掌握}}$ 用洛必达法则求未定式极限的方法

化简（等价无穷小替换，恒等变形，及时提出极限存在且不为0的因式）

理解函数的极值概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法， $\color{red}{\text{掌握}}$ 函数最大值和最小值的求法及其应用

单调性

极值的判别方法

函数最大值和最小值的求法

函数的一阶导数为0的点( $\color{green}{\text{驻点}}$ 也称为稳定点，临界点)。

会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 $(a,b)$ 内，设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，当 $f’(x)>0$ 时， $f(x)$的图形是凸的；当 $f’’(x)<0$时， $f(x)$ 的图形是凸的）， $\color{red}{\text{会求}}$ 函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形

用导数判断函数图形的凹凸性

函数图形的拐点

函数图形的拐点的例题

水平、铅直和斜渐近线

$\color{green}{\text{了解}}$ 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会 $\color{red}{\text{计算}}$ 曲率和曲率半径

一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念

不定积分的基本性质

基本积分公式

华里士公式/点火公式

定积分的概念和基本性质

定积分的概念解题

定积分中值定理

积分上限的函数及其导数

牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz）公式

不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法

有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分

$\color{green}{\text{三角函数有理式}}$ 是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，

$\color{green}{\text{无理函数}}$ 是一种代数函数，不是有理函数的代数函数称为无理函数，或者说对应规律含对自变量的开方运算的代数函数称为无理函数，无理函数通常是自变量包含在根式（通常是最简根式）中的函数。

无理函数

反常（广义）积分定积分的应用

考试要求

理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念

$\color{red}{\text{掌握}}$ 不定积分的基本公式， $\color{red}{\text{掌握}}$ 不定积分和定积分的性质及定积分中值定理， $\color{red}{\text{掌握}}$ 换元积分法与分部积分法

换元法和分部积分法

换元法、凑微分法和分部积分法

分部积分的灵活运用

$\color{red}{\text{会求}}$ 有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分

有理函数的积分

三角函数有理式1

三角函数有理式2

三角有理式：区间再现公式

无理函数的积分

无理函数的积分:三角代换

换元法、凑微分法、分部积分法以及有理函数、无理函数

理解积分上限的函数， $\color{red}{\text{会求}}$ 它的导数， $\color{red}{\text{掌握}}$ 牛顿一莱布尼茨公式

变限积分的导数

$S’(x)=\displaystyle \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)dt=g[\varphi_2(x)]\cdot \varphi_2’(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1’(x)$

积分上限的函数的例题

积分上限的函数+微分方程

牛顿莱布尼茨公式

理解反常积分的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 反常积分收敛的比较判别法，会 $\color{red}{\text{计算}}$ 反常积分.

反常积分计算的理论

反常积分计算的例题

比较审敛法

无穷限反常积分的比较审敛法

无界函数的反常积分的比较审敛法

极限审敛法

无穷限反常积分的极限审敛法

无界函数的反常积分的极限审敛法

绝对收敛

无穷限反常积分的绝对收敛

敛散性张宇

$\color{red}{\text{掌握}}$ 用定积分表达和 $\color{red}{\text{计算}}$ 一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值

向量代数和空间解析几何

考试内容

向量的概念

向量的线性运算

向量的数量积和向量积

向量的混合积

两向量垂直、平行的条件

两向量垂直的条件

两向量平行的条件

两向量的夹角

向量的坐标表达式及其运算

单位向量

方向数与方向余弦

方向数

直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数。

空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。

方向余弦

曲面方程和空间曲线方程的概念

空间曲线方程

平面方程

直线方程

平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件

直线之间、平面之间、直线和平面的平行、垂直的条件

点到平面和点到直线的距离

点到平面的距离

球面

柱面

旋转曲面

旋转曲面的例题

常用的二次曲面方程及其图形

常用的二次曲面方程及其图形-表1

常用的二次曲面方程及其图形-表2

空间曲线的参数方程和一般方程

空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

投影曲线的例题

考试要求

理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示

$\color{red}{\text{掌握}}$ 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积)， $\color{green}{\text{了解}}$ 两个向量垂直、平行的条件

理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式， $\color{red}{\text{掌握}}$ 用坐标表达式进行向量运算的方法

$\color{red}{\text{掌握}}$ 平面方程和直线方程及其求法

$\color{red}{\text{会求}}$ 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等）解决有关问题

$\color{red}{\text{会求}}$ 点到直线以及点到平面的距离

$\color{green}{\text{了解}}$ 曲面方程和空间曲线方程的概念

$\color{green}{\text{了解}}$ 常用二次曲面的方程及其图形， $\color{red}{\text{会求}}$ 简单的柱面和旋转曲面的方程

$\color{green}{\text{了解}}$ 空间曲线的参数方程和一般方程. $\color{green}{\text{了解}}$ 空间曲线在坐标平面上的投影，并 $\color{red}{\text{会求}}$ 该投影曲线的方程

多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念

二元函数的几何意义

二元函数的极限与连续的概念

二元函数的极限

连续的概念

有界闭区域上多元连续函数的性质

多元函数的偏导数和全微分

多元函数的偏导数

全微分的定义

全微分的叠加原理

全微分存在的必要条件和充分条件

多元复合函数

相关就要求导

链式求导法则

隐函数的求导法

二阶偏导数

图片详情

方向导数和梯度

方向导数的计算公式

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210510114258.png)

方向导数的例题

梯度的计算公式

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210510114329.png)

梯度的例题

空间曲线的切线和法平面

空间曲线的切线和法平面的计算式

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210510114148.png)

空间曲线的切线和法平面的例题

曲面的切平面和法线

曲面的切平面和法线的计算式

切平面的例题

曲面的切平面和法线的计算的计算题

二元函数的二阶泰勒公式

多元函数的极值和条件极值

多元函数极值的定义

多元函数的最大值、最小值及其简单应用

多元函数最值的定义

考试要求

理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义

$\color{green}{\text{了解}}$ 二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区城上连续函数的性质

理解多元函数偏导数和全微分的概念， $\color{red}{\text{会求}}$ 全微分， $\color{green}{\text{了解}}$ 全微分存在的必要条件和充分条件， $\color{green}{\text{了解}}$ 全微分形式的不变性

全微分的求法，使用全微分的叠加原理

理解方向导数与梯度的概念，并 $\color{red}{\text{掌握}}$ 其计算方法

$\color{red}{\text{掌握}}$ 多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法 $\color{green}{\text{了解}}$ 隐函数存在定理， $\color{red}{\text{会求}}$ 多元隐函数的偏导数

隐函数存在定理的定义

隐函数存在定理的例题

多元隐函数的偏导数

多元隐函数的偏导数的逆命题

$\color{green}{\text{了解}}$ 空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念， $\color{red}{\text{会求}}$ 它们的方程

$\color{green}{\text{了解}}$ 二元函数的二阶泰勒公式

理解多元函数极值和条件极值的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 多元函数极值存在的必要条件， $\color{green}{\text{了解}}$ 二元函数极值存在的充分条件， $\color{red}{\text{会求}}$ 二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， $\color{red}{\text{会求}}$ 简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题

二元函数取极值的必要和充分条件

条件极值与拉格朗日乘数法

隐函数的无条件极值

显函数的无条件极值

闭边界的最值直接用拉格朗日乘数法
闭区域，区域内的最值转换成无条件极值问题，区域边界转换为拉格朗日乘数法或者直接带入方程

闭边界和闭区域的最值

多元函数积分学

考试内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

二重积分的计算

直角坐标系

二重积分的直角坐标系

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210505223013.png)

(1) X型区域(上下型)(a图)

$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy,\text{其中}D\text{为}X\text{型区域:}\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b$

(2) Y型区域(左右型)(b图)

$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_c^ddx\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx,\text{其中}D\text{为}Y\text{型区域:}\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y),c\leq y\leq d$

极坐标系

二重积分的极坐标系

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210505225459.png)

(1)极点O在区域D外部(a图)

$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$

(2)极点О在区域D边界上(b图)

$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta\int_0^{r(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$

(3)极点O在区域D内部(c图)

$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{r(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$

三重积分的计算

直角坐标系

（1）先一后二

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}d\sigma \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

（2）先二后一

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_a^bdz \iint_{D_z}f(x,y,z)d\sigma$

柱面坐标系

$\text{则}\begin{cases} x = rcos\theta , & \cr y = rsin\theta , & \cr \end{cases} \text{便有}$ $\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \iiint_\Omega f(rcos \theta,r sin\theta,z)rdrd\theta dz$

球面坐标系

$\text{令}\begin{cases} x=rsin(\varphi)cos\theta, & \cr y=rsin(\varphi)sin\theta, & \cr z=rcos(\varphi), & \end{cases}$

计算公式

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \iiint_\Omega f(rsin(\varphi)cos\theta,rsin(\varphi)sin\theta,rcos(\varphi))r^2sin(\varphi)d\theta d \varphi dr$

两类曲线积分的概念、性质及计算

第一类曲线积分

空间形式的计算公式：参数式

平面情形的计算方法

形心公式的逆用

第二类曲线积分

基础方法-化为定积分

图片详情

格林公式法

格林(Green)公式

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210512220548.png)

两类曲线积分的关系

格林(Green)公式

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210512220548.png)

平面曲线积分与路径无关的条件

平面曲线积分与路径无关的充要

二元函数全微分的原函数

格林公式法

偏微分法

两类曲面积分的概念、性质及计算

第一型曲面积分

基础方法-化为二重积分

第二型曲面积分

拆成三个积分，分别投影到相应的坐标面上，化为二重积分计算，然后再相加,以$R(x,y,z)dxdy$为例子

(1) 将$\Sigma$投影到某一平面(比如$xOy$面)上$\implies$投影区域为$D$(比如$D_{xy}$)

(2) 将$z=z(x,y)$或者$F(x,y,z)=0$代入$R(x,y,z)$

(3) 将$dxdy$写成“$\pm dxdy$”,其中$\Sigma$方向向上(即法向量与z轴夹角为锐角)时取“+”,否则取“—”.

这就把第二型曲面积分化为了二重积分,得到

$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\pm \iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$

同样需要指出的是，投影时$\Sigma$上的任何两点的投影点不能重合

例题

两类曲面积分的关系

高斯(Gauss）公式

${\textstyle\unicode{x2460}} \Sigma$封闭曲面(封闭的区域$\Omega$)
${\textstyle\unicode{x2461}} \Omega$取外侧
${\textstyle\unicode{x2462}} P,Q,R$具有一阶连续偏导数

$\unicode{x222F}_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint_\Omega (\dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z})dv$

需要掌握“补面法”和“挖去法”

例题1

例题2

斯托克斯(Stokes）公式

$\unicode{x222E}_l Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} cos\alpha & cos \beta & cos \gamma \cr \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \cr P & Q & R \end{vmatrix} dS$

斯托克斯的例题

散度、旋度的概念及计算

散度、旋度的概念

![](https://raw.githubusercontent.com/ednow/cloudimg/main/githubio/20210510114355.png)

散度、旋度的计算

曲线积分和曲面积分的应用

考试要求

理解二重积分、三重积分的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 重积分的性质， $\color{green}{\text{了解}}$ 二重积分的中值定理

$\color{red}{\text{掌握}}$ 二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标)，会计算三重积分（直角坐标柱面坐标、球面坐标）

理解两类曲线积分的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

$\color{red}{\text{掌握}}$ 计算两类曲线积分的方法

$\color{red}{\text{掌握}}$ 格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件， $\color{red}{\text{会求}}$ 二元函数全微分的原函数

$\color{green}{\text{了解}}$ 两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系， $\color{red}{\text{掌握}}$ 计算两类曲面积分的方法， $\color{red}{\text{掌握}}$ 用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分

$\color{green}{\text{了解}}$ 散度与旋度的概念，并会计算

会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）

无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念

常数项级数的定义

常数项级数的收敛与发散的概念

收敛级数的和的概念

收敛级数的和，收敛与发散的概念

级数的基本性质与收敛的必要条件

性质1：级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不会改变
图片详情
性质2：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减
图片详情
性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性
图片详情
性质4：如果级数收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变
图片详情

收敛的必要条件：收敛的必要条件一般项趋于0
图片详情

几何级数与p级数及其收敛性

几何级数及其收敛性

p级数及其收敛性

正项级数收敛性的判别法

定理1：正数项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界
图片详情
定理2：比较判别法
图片详情

定理3：比较判别法的极限形式
图片详情
定理4：比值判别法,达朗贝尔( d’Alembert)判别法
图片详情
定理5：根值判别法(也叫柯西判别法)
图片详情

交错级数与莱布尼茨定理

任意项级数的绝对收敛与条件收敛

定理8：如果级数绝对收敛，那么级数必收敛
图片详情

函数项级数的收敛与和函数的概念

图片详情

幂级数及其收敛、收敛区间（指开区间）和收敛域

幂级数的定义

阿贝尔(Abel)定理

求幂级数的收敛半径

幂级数的和函数

幂级数在其收敛区间内的基本性质

幂级数的和函数的性质

简单幂级数的和函数的求法

泰勒展开是在任意点展开，麦克劳林展开是在0点展开

泰勒展开和麦克劳林展开

简单幂级数的和函数的求法

初等函数的幂级数展开式

函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数

图片详情

狄利克雷(Dirichlet)定理

图片详情

第一,函数能在某点展开为收敛于本身的 $\color{red}{\text{泰勒级数}}$ 的条件比较苛刻.此函数要在该点 $\color{green}{\text{无穷阶可导}}$ 且在 $x$ 趋于该点时其 $\color{green}{\text{泰勒余项要趋向于0}}$

第二,这个定理明确指出,只有当 $x$ 为连续点时,才写为 $S(x)= f(x)$ ,其他情形下并非能使这等式成立

30讲中的表述

函数在 $[-l,l]$ 上的傅里叶级数

例1

例2

例3，函数延拓

函数在 $[0,l]$ 上的正弦级数和余弦级数

正弦级数

正弦级数例题

余弦级数

余弦级数的例题

考试要求

理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 级数的基本性质及收敛的必要条件

$\color{red}{\text{掌握}}$ 几何级数与p级数的收敛与发散的条件

$\color{red}{\text{掌握}}$ 正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用 $\color{red}{\text{积分判别法}}$

积分判别法百度百科

积分判别法

比值判别法

根值判别法

比较判别法

$\color{red}{\text{掌握}}$ 交错级数的莱布尼茨判别法

莱布尼茨判别法

$\color{green}{\text{了解}}$ 任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系

任意项级数的敛散性

$\color{green}{\text{了解}}$ 函数项级数的收敛域及和函数的概念

理解幂级数收敛半径的概念，并 $\color{red}{\text{掌握}}$ 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法

幂级数的收敛域

抽象型问题的理论和例题

$\color{green}{\text{了解}}$ 幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)， $\color{red}{\text{会求}}$ 一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和

幂级数求和函数

$\color{green}{\text{了解}}$ 函数展开为泰勒级数的充分必要条件

$\color{red}{\text{掌握}}$ $e^x,\quad sinx, \quad cosx, \quad ln(1+x)$及 $(1+x)^\alpha$的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数

简单函数间接展开为幂级数

$\color{green}{\text{了解}}$ 傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 $[-l,l]$ 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 $[0,l]$ 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 $[0,l]$ 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式

傅里叶级数的例题

常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念

变量可分离的微分方程

变量可分离的例题

$\color{green}{\text{可化为变量可分离型}}$

可化为变量可分离型的例题

可分离变量的例题

齐次微分方程

齐次微分方程属于 $\color{green}{\text{可化为变量可分离型}}$

微分方程解决一些简单的应用问题的例题

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的例题

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利(Bernoulli)方程的例题

不显含y+伯努利的题目

全微分方程

可用简单的变量代换求解的某些微分方程

变量代换解题

可降阶的高阶微分方程

二阶可降阶微分方程的求解,不显含y型的例题

二阶可降阶微分方程的求解,不显含x型的例题

线性微分方程解的性质及解的结构定理

二阶常系数

二阶常系数齐次与非齐次的微分方程的通解

二阶常系数齐次与非齐次的微分方程的例题

图片详情

齐次线性微分方程

高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程

高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程的例题

简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

欧拉（Euler)方程

欧拉（Euler)方程例题

微分方程的简单应用

考试内容

$\color{green}{\text{了解}}$ 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

$\color{red}{\text{掌握}}$ 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

会用降阶法解下列形式的微分方程: $y^(n)=f(x),\quad y’=f(x,y’),\quad y’=f(y,\quad y’)$

理解线性微分方程解的性质及解的结构

已知微分方程的解,反求系数的题

不解微分方程,而利用方程所隐含的信息解题

$\color{red}{\text{掌握}}$ 二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程

会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程

会解欧拉方程

欧拉方程的例题

会用微分方程解决一些简单的应用问题

微分方程解决一些简单的应用问题的例题

线性代数

行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质

行列式按行（列〉展开定理

考试内容

$\color{green}{\text{了解}}$ 行列式的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 行列式的性质

会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理 $\color{red}{\text{计算}}$ 行列式

矩阵

考试内容

矩阵的概念

矩阵的线性运算

矩阵的乘法

方阵的幂

方阵乘积的行列式

矩阵的转置

逆矩阵的概念和性质

矩阵可逆的充分必要条件

行列式不为0

伴随矩阵

矩阵的初等变换

初等矩阵

矩阵的秩

矩阵的等价

分块矩阵及其运算

考试要求

理解矩阵的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质

$\color{red}{\text{掌握}}$ 矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律， $\color{green}{\text{了解}}$ 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

理解逆矩阵的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵

理解矩阵初等变换的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法

$\color{green}{\text{了解}}$ 分块矩阵及其运算

向量

考试内容

向量的概念

向量的线性组合与线性表示

向量组的线性相关与线性无关

向量组的极大线性无关组

等价向量组

向量组的秩

向量组的联与矩阵的秩之间的关系

向量空间及其相关概念

n维向量空间的基变换和坐标变换

过渡矩阵

向量的内积

线性无关向量组的正交规范化方法

规范正交基

正交矩阵及其性质

考试要求

理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念

理解向量组线性相关、线性无关的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法

理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念， $\color{red}{\text{会求}}$ 问量组的极大线性无关组及秩

理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的

$\color{green}{\text{了解}}$ n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念

$\color{green}{\text{了解}}$ 基变换和坐标变换公式， $\color{red}{\text{会求}}$ 过渡矩阵

$\color{green}{\text{了解}}$ 内积的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt）方法

$\color{green}{\text{了解}}$ 规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质

线性方程组

考试内容

线性方程组的克拉默(Cramer）法则

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

非齐次线性方程组有解的充分必要条件

线性方程组解的性质和解的结构

齐次线性方程组的基础解系和通解

解空间

非齐次线性方程组的通解

考试要求

会用克拉默法则

理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件

理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念

$\color{red}{\text{掌握}}$ 用初等行变换求解线性方程组的方法

矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质

相似变换、相似矩阵的概念及性质

矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵

实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

考试要求

理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质， $\color{red}{\text{会求}}$ 矩阵的特征值和特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件， $\color{red}{\text{掌握}}$ 将矩阵化为相似对角矩阵的方法

$\color{red}{\text{掌握}}$ 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示

合同变换与合同矩阵

二次型的秩

惯性定理

二次型的标准形

用正交变换和配方法化二次型为标准形

二次型及其矩阵的正定性

考试要求

掌据二次型及其矩阵表示， $\color{green}{\text{了解}}$ 二次型秩的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 合同变换与合同矩阵的概念， $\color{green}{\text{了解}}$ 二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理

$\color{red}{\text{掌握}}$ 用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形

理解正定二次型、正定矩阵的概念，并 $\color{red}{\text{掌握}}$ 共判别法

概率论与数理统计

随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间

事件的关系与运算

完备事件组

图片详情

概率的概念

概率的基本性质

古典型概率

几何型概率

条件概率

概率的基本公式

事件的独立性

互斥和独立的区别

图片详情

互斥与不相容的关系

如果事件总体集合为(A,B,C)那么A与B为互不相容事件，而不是互斥事件

如果事件总体集合为(A,B)那么A与B既为互不相容事件，又是互斥事件

事件独立的性质

图片详情

独立重复试验

考试要求

$\color{green}{\text{了解}}$ 样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 事件的关系及运算

理解概率、条件概率的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 概率的基本性质，会 $\color{red}{\text{计算}}$ 古典型概率和几何型概率， $\color{red}{\text{掌握}}$ 概率的加法公式、减法公式乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes)公式

全概率公式和贝叶斯公式的理解

理解事件独立性的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 用事件独立性进行概率 $\color{red}{\text{计算}}$ ;理解独立重复试验的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ $\color{red}{\text{计算}}$ 有关事件概率的方法

随机变量及其分布

考试内容

随机变量

随机变量分布函数的概念及其性质

离散型随机变量的概率分布

连续型随机变量的概率密度

常见随机变量的分布

随机变量函数的分布

考试要求

理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会 $\color{red}{\text{计算}}$ 与随机变量相联系的事件的概率

$F(x)=P\lbrace X \leq x \rbrace (-\infty < x < +\infty)$

理解离散型随机变量及其概率分布的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 0-1分布、二项分布 $B(n,p)$ 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 $P(\lambda)$ 及其应用

$\color{green}{\text{了解}}$ 泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布

理解连续型随机变量及其概率密度的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 均勾分布 $U(a,b)$ 、正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 、指数分布及其应用、其中参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布 $E(\lambda)$ 的概率密度为

$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \cr 0, & x \leq 0 \end{cases}$

$\color{red}{\text{会求}}$ 随机变量函数的分布

多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布

二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布

二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度

随机变量的独立性和不相关性

$\color{red}{\text{相关}}$ 一般指的是 $\color{green}{\text{线性相关性}}$ ，用相关系数来表示，相关系数为零代表两个变量间没有线性相关性。而 $\color{red}{\text{独立}}$ 意味着除了 $\color{green}{\text{无线性相关}}$ 外也 $\color{green}{\text{不能有非线性相关}}$ ，因此独立意味着不相关，但不相关不意味着独立，因为还可能有非线性相关的情况存在。

不相关的充分必要条件

独立性和相关性的数字关系

常用二维随机变量的分布

两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度， $\color{red}{\text{会求}}$ 与二维随机变量相关事件的概率

理解随机变量的独立性及不相关性的概念， $\color{red}{\text{掌握}}$ 随机变量相互独立的条件

$\color{red}{\text{掌握}}$ 二维均勾分布， $\color{green}{\text{了解}}$ 二维正态分布 $N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$ 的概率密度，理解其中参数的概率意义

$\color{red}{\text{会求}}$ 两个随机变量简单函数的分布， $\color{red}{\text{会求}}$ 多个相互独立随机变量简单函数的分布.

随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值)、方差、标准差及其性质

随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并 $\color{red}{\text{掌握}}$ 常用分布的数字特征

$\color{red}{\text{会求}}$ 随机变量西数的数学期望

大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫(Chebyshev)不等式

切比雪夫大数定律

伯努利(Bernoulli）大数定律

辛钦(Khinchin)大数定律

棣莫弗-拉普拉斯(De Moiver-Laplace）定理

列维-林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考试要求

$\color{green}{\text{了解}}$ 切比雪夫不等式

$\color{green}{\text{了解}}$ 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律）

$\color{green}{\text{了解}}$ 棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理).

数理统计的基本概念

考试内容

总体

个体

简单随机样本

统计量

样本均值

样本方差和样本矩

$\chi^2$ 分布

$t$ 分布

$F$ 分布

分位数

正态总体的常用抽样分布

考试要求

理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值，样本方差及样本矩的概念，其中样本方整定义为

$S^2=\dfrac{1}{n-1} \displaystyle \sum_{i=1}^n(\chi_i=chi)$

$\color{green}{\text{了解}}$ $\chi^2$ 分布、 $t$ 分布和 $F$ 分布的概念及性质， $\color{green}{\text{了解}}$ 上侧 $\alpha$ 分位数的概念并会查表 $\color{red}{\text{计算}}$

$\color{green}{\text{了解}}$ 正态总体的常用抽样分布

参数估计

考试内容

点估计的概念

估计量与估计值

矩估计法

浙大课本pp.162

最大似然估计法

估计量的评选标准

区间估计的概念

单个正态总体的均值和方差的区间估计

两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

理解参数的点估计、估计量与估计值的概念

$\color{red}{\text{掌握}}$ 矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法

$\color{green}{\text{了解}}$ 估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念并会验证估计量的无偏性

无偏性、有效性、一致性的区别