基础30讲-线性代数-ch5-特征值与特征向量

zy2022

线性代数

特征值与特征向量

p379

此讲的矩阵均为方阵

总结一下每一讲对形状的限制

1.行列式，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

2.矩阵，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

3.向量组，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

4.方程组，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

5.特征值，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

6.二次型，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

特征值与特征向量

定义

定义

$\mathbf{A}\mathbf{\xi}=\lambda \mathbf{\xi}$

$\mathbf{\xi}$是$\mathbf{A}$的特征值，$\mathbf{\xi}$是$\mathbf{A}$的特征向量

$|\lambda \mathbf{E}- \mathbf{A}|=0$特征方程

性质

上下三角矩阵与对角矩阵的特征值就是对角线元素

特征值的性质

特征值加起来等于迹$tr(\mathbf{A})$

特征值乘起来等于行列式的值

特征向量的性质

(1) $k$重特征值$\lambda$至多只有$k$个线性无关的特征向量(直接使用无需证明)（例2.5.1）

(2) 若$\xi_1,\xi_2$是$\mathbf{A}$属于不同特征值的特征向量，则$\xi_1,\xi_2$线性无关（例2.5.5）

(3) 若$\xi_1,\xi_2$是$\mathbf{A}$属于同一特征值的特征向量，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$仍是$\mathbf{A}$属于特征值$\lambda$的特征向量（例2.5.7）

常用矩阵的特征值和特征向量

常用矩阵的特征值和特征向量

求法

具体型矩阵

注：不能有0解，不同时为0

提出法

试根法（试-1，1，0，最高次项的系数是1：试0次项的因子）

• $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$ 多项式的带余除法(顶级方法)
• 

  抽象型矩阵

  证明主要是用定义
  
• $\bigstar$(A不是必定不可以求逆吗，A的行列式必须是0？) 答：特征方程不是A
• 最后一个的证明，塞到矩阵中间的一定是$\mathbf{E}$
• $\mathbf{A}^T$特征值不变，特征向量不知道

相似

矩阵相似

定义

图片详情

性质

相似矩阵的性质

• 秩，行列式，特征方程 ，特征值相同，迹相同
• 对应的的矩阵多项式和矩阵的幂也相似
• 对应的逆矩阵也相似
• 对应的转置也相似
• A的伴随和B的伴随也相似

两个矩阵是否相似的判别与证明

两个矩阵是否相似的判别与证明

矩阵的相似对角化

• 回答为什么要求特征值和特征向量

能否相似对角化的例题1

能否相似对角化的例题2

定义

$\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda}$,$\mathbf{\Lambda}$为对角矩阵,则称$\mathbf{A}$可相似对角化，$\mathbf{\Lambda}$是$\mathbf{A}$的相似标准型

矩阵的相似对角化的定义

可相似对角化的条件

充分必要条件：$\mathbf{A}$有$n$个线性无关的特征向量

注：特征值与特征向量线性相关的关系

$$\begin{cases} \text{普通} \mathbf{A} \begin{cases} \lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} (\text{例2.5.5})\cr \cr \lambda_1 = \lambda_2 \implies \begin{cases} \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{相关}(\text{例2.5.10(D)}) \cr \cr \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} (\text{例2.5.10(C)}) \end{cases} \cr \cr \end{cases} \cr \cr \text{实际对称} \mathbf{A}\text{((必可相似对角化))}\begin{cases} \lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \perp \xi_2 (\text{例2.5.16})\cr \cr \lambda_1 = \lambda_2 \implies \begin{cases} \xi_1 \perp \xi_2 \cr \cr \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} \end{cases} \cr \cr \end{cases} \end{cases}$$

两个充分

两个必要

实对称矩阵必可相似于对角阵

相似对角化的步骤

(1) 求$\mathbf{A}$的$\lambda$

(2) 求$\mathbf{A}$的$\lambda$的$\xi$

(3)令$P=(\xi_1\cdots \xi_2)$

应用

实对称矩阵的相似对角化

(1)$\mathbf{A}$是实对称矩阵,则$\mathbf{A}$的特征值是实数﹐特征向量是实向量(不用证)

(2)实对称矩阵$\mathbf{A}$的属于不同特征值的特征向量相互正交(证明见例2.5.16).

（3）实是对称矩阵的$\mathbf{P}$可以变换(正交化单位化)为正交矩阵

反问题

反求参数

反求参数的三种方法

反求$\mathbf{A}$

反求矩阵

$$\begin{cases} {\textstyle\unicode{x2460}} \mathbf{A}=\mathbf{P} \Lambda \mathbf{P}^{-1},(例2.5.21) & \cr \bigstar {\textstyle\unicode{x2461}} \mathbf{A}^k=\mathbf{P} \Lambda^k \mathbf{P}^{-1} , & \cr \bigstar {\textstyle\unicode{x2462}} f(\mathbf{A})=\mathbf{P} f(\Lambda) \mathbf{P}^{-1} , & \cr \end{cases}$$

两个矩阵是否相似的判别与证明

求$A^n\text{与}f(A)$