zy2022

线性代数

矩阵

pp327(进度)

p314

注：2021考研实际线代大概分数为12分

矩阵的定义及其基本运算

矩阵的加减乘除
表达系统信息.
重要观点
- 矩阵也是由若干行(列)向量拼成的
- 矩阵不能运算,但是其若干行(列)向量之间存在着某种联系

秩：矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数.

设A是m×n矩阵,A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩,记为r(A).

也可以这样定义;若存在k阶子式不为零,而任意k十1阶子式(如果有的话)全为零,则r(A)=k,且

$r(A_{n\times n})(\text{满秩})=n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}$

n阶子式的概念

矩阵的四大运算

行列式
转置
逆
伴随

$\color{red}{\text{Q}}$:如何化成单位矩阵

$\color{red}{\text{A}}$:如下图，~~注意最好不要一开始用第一行化不然的话，容易化成副对角矩阵，还要交换n-1次(消第一列的话还是会消成主对角阵)~~

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证明题万能思路：要么是考定义，要么是考运算（初级阶段

定义

同型矩阵：两个矩阵，行数和列数相等

方阵：对于一个矩阵，其行数和列数相等

几种重要的矩阵

对称矩阵：关于主对角线对称， $\mathbf{A}^T=\mathbf{A}$

$\bigstar$ 正交矩阵：$\mathbf{A}\mathbf{A}^T=\mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$，由规范正交基组成

分块矩阵：子矩阵

对角矩阵：非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵.

基本运算

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算,满足下列运算规律:

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 交换律A+B=B+A;

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 结合律(A+B)+C=A+(B+C);

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA;

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 数和矩阵相乘的结合律k(lA)=(kl)A=l(kA).

其中,A,B,C是同型矩阵,k,l是任意常数.

当n阶方阵A计算行列式时,记成|A|.

注意

$|kA|=k^n|A|\neq k|A|$
一般$|A+B| \neq |A|+|B|$：（$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{0}$，但$\mathbf{A},\mathbf{B}$都不是$\mathbf{0}$）
$A \neq \mathbf{0} \nRightarrow |A|\neq 0$
$A \neq B\nRightarrow |A|\neq |B|$

相等

同型矩阵，且对应元素相同

加法

同型矩阵可加

数乘矩阵

每一个元素都要乘

矩阵乘法

满足的规律

结合律
分配律
数乘与矩阵乘积的结合律
矩阵的乘法一般不满足交换律

矩阵乘法不满足交换律：但是当矩阵时一阶矩阵的时候可以提到外面去

转置矩阵

转置矩阵的运算规律

$(A^T)^T=A$
$(kA)^T=kA^T$
$(A+B)^T = A^T+ B^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
$\text{当}m=n时,|A^T|=|A|$

向量的内积与正交

$\alpha\text{与}\beta$的内积记为$(\alpha,\beta)$

默认$\alpha$是列向量，线代里面向量不打箭头

正交：当$\alpha^T\beta=0,\text{称向量}\alpha \cdot \beta\text{是正交向量}$

模：L2正则

标准正交向量组：任一向量的模为1，任两向量的内积为0

施密特正交化

施密特正交化的方法

施密特正交化的时候对求出来的正交向量标准化的时候，可以直接让分母消失，再算(其余就需要用公式了，只有最后标准化的时候可以投机)

矩阵的幂

$\mathbf{A}\text{是一个方阵}\overbrace{AA\cdots A}^{m\text{个}}\text{称为}\mathbf{A}\text{的}m\text{次幂}$

可以运用多项式

求矩阵幂的方法：矩阵乘法的结合律，求一次再用结合律，化成$\mathbf{E}+\mathbf{A}$
拆成两个矩阵(列*行)的乘积，中间用结合律为常数
多写几次找规律(最万能)

矩阵的幂的性质

主对角线元素为零的上三角矩阵$\mathbf{B}$，有$\mathbf{B}^n=\mathbf{O}$

方阵乘积的行列式

设$\mathbf{A}\mathbf{B}$是同阶方阵，则$|AB|=|A||B|$

复合运算（三大运算,7组重要的公式）

${\textstyle\unicode{x2460}}$ A是方阵，两重相同的运算结果

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 数乘

最后一项的推导($\text{狗}\text{狗}^\star= |狗|\mathbf{E}$)

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 穿脱原则

最后一项的推导

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 三大运算，任何两个运算交换，结果不变

${\textstyle\unicode{x2464}}$ 三大运算的行列式

伴随矩阵行列式的推导

${\textstyle\unicode{x2465}}$ 三大运算的线性加：只有转置满足加法可拆性

${\textstyle\unicode{x2466}}$ 单位矩阵$\mathbf{E}$的三大运算结果还是单位矩阵$\mathbf{E}$

矩阵的逆

定义

矩阵逆的定义

设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，若存在$n$阶方阵$\mathbf{B}$，满足$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，则称矩阵$\mathbf{A}$可逆，$\mathbf{B}$是$\mathbf{A}$的逆矩阵，记为$\mathbf{A}^{-1}$,即$\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}$

必须是方阵才能谈逆矩阵

可逆的充要条件是$\mathbf{A}$不为$\mathbf{0}$ $\iff \text{对应的}n$个向量线性无关

定义法证两个方阵可逆：凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$

凑的方法其实就是“凑完全平方”

性质与公式

凑$\mathbf{E}$的方法

用定义法求逆矩阵

三种方法

凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$
法3分解成分块矩阵

$\color{red}{\text{求矩阵的逆}}$ 一共 $\color{green}{\text{三种方法}}$

用定义法求逆矩阵(一般是用来求抽象型问题)
用伴随矩阵求逆矩阵(用来解具体型)
用初等变换（初等矩阵)求逆矩阵(用来解具体型)

分块矩阵的逆

副对角分块，每个分块分别求逆，再倒着写
图片详情：副对角分块
主对角线元素的逆：每个主对角线元素的倒数
设方程
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$\color{red}{\text{证明矩阵A可逆}}$ ， $\color{green}{\text{三种方法}}$

A的行列式不为0
凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$

$\color{red}{\text{Q}}$：这个矩阵怎么求逆矩阵： $\color{green}{\text{A}}$ 用初等变换的倍乘性质

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