基础30讲-线性代数-ch1-行列式

zy2022

线性代数

行列式

p295

5分

只有方阵才能谈行列式

行列式的定义与性质

$a_{ij}$ i代表行号，j代表列号

主对角线，左上到右下；副对角线，右上到左下

行列式用字母$D$表示

本质定义(第一种定义)

• 2阶行列式是由两个2维向量(行向量)组成的,其(运算规则的)结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
• 3阶行列式其(运算规则的)结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积.
• n阶行列式是由n个n维向量其(运算规则的)结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积.
• 由此看来，一个重要观点出现了:读者一开始,就应该把行列式看作是由若干个向量拼成的,并且要把这些向量作运算.
• 行列式线性无关，可以理解为行向量组成的图形面积不为0
• 行列式研究两个向量线性相关的一种工具
• 行列式算出来到底是几不重要，等不等于0才重要

性质

性质1 行列互换,其值不变,即 $|A|=|A^T|$.

性质2 行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零.(面积为0)

性质3 行列式中某行(列)元素有公因子k(k $\neq$ 0)，则k可提到行列式外面

• 注意只乘进某一行去
• 用面积理解也好理解
• 倍乘

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix}$$

性质4 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和，

• 注意是$\color{red}{\text{单}}$行可加性

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix}$$

性质5 行列式中两行(列)互换,行列式的值反号.

• 互换性质

性质6 行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零.

• 性质7和性质2可以推导性质6

性质7 行列式中某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式的值不变.

• 倍加

初等变换

• 互换
• 倍乘
• 倍加

逆序数法定义(第二种定义)

• 可以用来检验

排列和逆序

排列：由n个数$1,2,\cdots,n$组成的一个有序数组称为一个n级排列,如23145是一个5级排列,41352也是一个5级排列.n级排列共有n!个.

逆序：一个n级排列$i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t \cdots i_n$。中,若$i_s>i_t$,且$i_s$排在$i_t$,前面,则称这两个数构成一个逆序.

逆序数：一个排列中,逆序的总数称为该排列的逆序数,记作 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$,如$\tau$(231546)=3,$\tau$(621534)=8.由小到大顺排的排列称为自然排序,如12345,显然,自然排序的逆序数为0.

奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数时,该排列称为奇排列;排列的逆序数为偶数时,该排列称为偶排列.

n阶行列式的定义

取不同行不同列的乘积，行下标顺排，故为$n!$项和。当列下标为奇排列时,应附加负号;当列下标为偶排列时,应附加正号.

• 用来求给定展开项的正负号

展开定理(第三种定义)

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

余子式

$$\text{在}n\text{阶行列式中,去掉元素}a_{ij}\text{所在的第i行、第j列元素,}$$ $$\text{由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的}n-1\text{阶行列式称为元素}a_{ij}\text{的余子式,记作}M_{ij}$$

代数余子式

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

$$\text{余子式}M_{ij}\text{乘}(-1)^{i+j}\text{后称为}a_{ij}\text{的代数余子式，记作}A_{ij}\text{,即}$$ $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

行列式按某一行(列)展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和,即

但行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和,结果为零,即

几个重要的行列式

主对角线行列式

副对角线行列式

• 系数可以用逆序来理解

拉普拉斯展开式

范德蒙德行列式

下标大的要把下标比他小的都减一遍再相乘

$\bigstar$ 行列式的计算

$\color{red}{\text{一句话总结}}$：${\textstyle\unicode{x2460}}$ 初等行变化，化成基本型，${\textstyle\unicode{x2461}}$递推

• 直接展开
  • 0元素很多的情况
  • 阶数不高的情况
• 爪形
  • 斜爪消平爪：依次提出斜爪上的值(倍乘性质)，从第二行开始每一行依次去减第一行，就会变成主对角线行列式
• 异爪形
  • 阶数低，直接展开：第${\textstyle\unicode{x2462}}$ 种 从最下面那一行开始展开比较好
  • 阶数高，递推
    • $\text{建立} Dn \text{与} D{n-1} \text{的关系} \implies D_n $
    • 找的$D_{n-1}$满足分布相同只是阶数降了一阶
• 行(列)和相等
  • 加到第一行(列)，提出去，在做初等变换(用第一行(列)去减下面的每一行)变成主对角行列式
• 消零化基本形
• 拉普拉斯展开：交换行列变成拉普拉斯展开

• 范德蒙德行列式

• 爪型vs异爪型
  

• 基本型指的是4个重要的行列式

具体型

化为基本型

递推法

行列式表示的函数和方程

抽象型

用性质

用公式$|AB|=|A||B|$

公式证明的参考文献

余子式与代数余子式的计算

$$a_{ij}\text{的}A_{ij}(\text{代数余子式})\text{与}i,j(\text{的位置})\text{有关，与}a_{ij}\text{的大小无关}$$