zy2022-线性代数

行列式

p295

5分

只有方阵才能谈行列式

行列式的定义与性质

$a_{ij}$ i代表行号，j代表列号

主对角线，左上到右下；副对角线，右上到左下

行列式用字母$D$表示

本质定义(第一种定义)

2阶行列式是由两个2维向量(行向量)组成的,其(运算规则的)结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
3阶行列式其(运算规则的)结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积.
n阶行列式是由n个n维向量其(运算规则的)结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积.
由此看来，一个重要观点出现了:读者一开始,就应该把行列式看作是由若干个向量拼成的,并且要把这些向量作运算.
行列式线性无关，可以理解为行向量组成的图形面积不为0
行列式研究两个向量线性相关的一种工具
行列式算出来到底是几不重要，等不等于0才重要

性质

性质1 行列互换,其值不变,即 $|A|=|A^T|$.

性质2 行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零.(面积为0)

性质3 行列式中某行(列)元素有公因子k(k $\neq$ 0)，则k可提到行列式外面

注意只乘进某一行去
用面积理解也好理解
倍乘

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix}$

性质4 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和，

注意是$\color{red}{\text{单}}$行可加性

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \cr \vdots & \vdots& & \vdots \cr a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3} \end{vmatrix}$

性质5 行列式中两行(列)互换,行列式的值反号.

互换性质

性质6 行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零.

性质7和性质2可以推导性质6

性质7 行列式中某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式的值不变.

倍加

初等变换

互换
倍乘
倍加

逆序数法定义(第二种定义)

可以用来检验

排列和逆序

排列：由n个数$1,2,\cdots,n$组成的一个有序数组称为一个n级排列,如23145是一个5级排列,41352也是一个5级排列.n级排列共有n!个.

逆序：一个n级排列$i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t \cdots i_n$。中,若$i_s>i_t$,且$i_s$排在$i_t$,前面,则称这两个数构成一个逆序.

逆序数：一个排列中,逆序的总数称为该排列的逆序数,记作 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$,如$\tau$(231546)=3,$\tau$(621534)=8.由小到大顺排的排列称为自然排序,如12345,显然,自然排序的逆序数为0.

奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数时,该排列称为奇排列;排列的逆序数为偶数时,该排列称为偶排列.

n阶行列式的定义

取不同行不同列的乘积，行下标顺排，故为$n!$项和。当列下标为奇排列时,应附加负号;当列下标为偶排列时,应附加正号.

用来求给定展开项的正负号

展开定理(第三种定义)

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

余子式

$\text{在}n\text{阶行列式中,去掉元素}a_{ij}\text{所在的第i行、第j列元素,}$ $\text{由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的}n-1\text{阶行列式称为元素}a_{ij}\text{的余子式,记作}M_{ij}$

代数余子式

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

$\text{余子式}M_{ij}\text{乘}(-1)^{i+j}\text{后称为}a_{ij}\text{的代数余子式，记作}A_{ij}\text{,即}$ $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

行列式按某一行(列)展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和,即

但行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和,结果为零,即

几个重要的行列式

主对角线行列式

副对角线行列式

系数可以用逆序来理解

拉普拉斯展开式

范德蒙德行列式

下标大的要把下标比他小的都减一遍再相乘

$\bigstar$ 行列式的计算

$\color{red}{\text{一句话总结}}$：${\textstyle\unicode{x2460}}$ 初等行变化，化成基本型，${\textstyle\unicode{x2461}}$递推

直接展开
- 0元素很多的情况
- 阶数不高的情况
爪形
- 斜爪消平爪：依次提出斜爪上的值(倍乘性质)，从第二行开始每一行依次去减第一行，就会变成主对角线行列式
异爪形
- 阶数低，直接展开：第${\textstyle\unicode{x2462}}$ 种从最下面那一行开始展开比较好
- 阶数高，递推
  - $\text{建立} Dn \text{与} D{n-1} \text{的关系} \implies D_n $
  - 找的$D_{n-1}$满足分布相同只是阶数降了一阶
行(列)和相等
- 加到第一行(列)，提出去，在做初等变换(用第一行(列)去减下面的每一行)变成主对角行列式
消零化基本形
拉普拉斯展开：交换行列变成拉普拉斯展开
范德蒙德行列式
爪型vs异爪型
基本型指的是4个重要的行列式

具体型

化为基本型

递推法

行列式表示的函数和方程

抽象型

用性质

用公式$|AB|=|A||B|$

公式证明的参考文献

余子式与代数余子式的计算

$a_{ij}\text{的}A_{ij}(\text{代数余子式})\text{与}i,j(\text{的位置})\text{有关，与}a_{ij}\text{的大小无关}$

矩阵

pp327(进度)

p314

注：2021考研实际线代大概分数为12分

矩阵的定义及其基本运算

矩阵的加减乘除
表达系统信息.
重要观点
- 矩阵也是由若干行(列)向量拼成的
- 矩阵不能运算,但是其若干行(列)向量之间存在着某种联系

秩：矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数.

设A是m×n矩阵,A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩,记为r(A).

也可以这样定义;若存在k阶子式不为零,而任意k十1阶子式(如果有的话)全为零,则r(A)=k,且

$r(A_{n\times n})(\text{满秩})=n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}$

n阶子式的概念

矩阵的四大运算

行列式
转置
逆
伴随

$\color{red}{\text{Q}}$:如何化成单位矩阵

$\color{red}{\text{A}}$:如下图，~~注意最好不要一开始用第一行化不然的话，容易化成副对角矩阵，还要交换n-1次(消第一列的话还是会消成主对角阵)~~

图片详情

证明题万能思路：要么是考定义，要么是考运算（初级阶段

定义

同型矩阵：两个矩阵，行数和列数相等

方阵：对于一个矩阵，其行数和列数相等

几种重要的矩阵

对称矩阵：关于主对角线对称， $\mathbf{A}^T=\mathbf{A}$

$\bigstar$ 正交矩阵：$\mathbf{A}\mathbf{A}^T=\mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$，由规范正交基组成

分块矩阵：子矩阵

对角矩阵：非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵.

基本运算

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算,满足下列运算规律:

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 交换律A+B=B+A;

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 结合律(A+B)+C=A+(B+C);

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA;

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 数和矩阵相乘的结合律k(lA)=(kl)A=l(kA).

其中,A,B,C是同型矩阵,k,l是任意常数.

当n阶方阵A计算行列式时,记成|A|.

注意

$|kA|=k^n|A|\neq k|A|$
一般$|A+B| \neq |A|+|B|$：（$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{0}$，但$\mathbf{A},\mathbf{B}$都不是$\mathbf{0}$）
$A \neq \mathbf{0} \nRightarrow |A|\neq 0$
$A \neq B\nRightarrow |A|\neq |B|$

相等

同型矩阵，且对应元素相同

加法

同型矩阵可加

数乘矩阵

每一个元素都要乘

矩阵乘法

满足的规律

结合律
分配律
数乘与矩阵乘积的结合律
矩阵的乘法一般不满足交换律

矩阵乘法不满足交换律：但是当矩阵时一阶矩阵的时候可以提到外面去

转置矩阵

转置矩阵的运算规律

$(A^T)^T=A$
$(kA)^T=kA^T$
$(A+B)^T = A^T+ B^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
$\text{当}m=n时,|A^T|=|A|$

向量的内积与正交

$\alpha\text{与}\beta$的内积记为$(\alpha,\beta)$

默认$\alpha$是列向量，线代里面向量不打箭头

正交：当$\alpha^T\beta=0,\text{称向量}\alpha \cdot \beta\text{是正交向量}$

模：L2正则

标准正交向量组：任一向量的模为1，任两向量的内积为0

施密特正交化

施密特正交化的方法

施密特正交化的时候对求出来的正交向量标准化的时候，可以直接让分母消失，再算(其余就需要用公式了，只有最后标准化的时候可以投机)

矩阵的幂

$\mathbf{A}\text{是一个方阵}\overbrace{AA\cdots A}^{m\text{个}}\text{称为}\mathbf{A}\text{的}m\text{次幂}$

可以运用多项式

求矩阵幂的方法：矩阵乘法的结合律，求一次再用结合律，化成$\mathbf{E}+\mathbf{A}$
拆成两个矩阵(列*行)的乘积，中间用结合律为常数
多写几次找规律(最万能)

矩阵的幂的性质

主对角线元素为零的上三角矩阵$\mathbf{B}$，有$\mathbf{B}^n=\mathbf{O}$

方阵乘积的行列式

设$\mathbf{A}\mathbf{B}$是同阶方阵，则$|AB|=|A||B|$

复合运算（三大运算,7组重要的公式）

${\textstyle\unicode{x2460}}$ A是方阵，两重相同的运算结果

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 数乘

最后一项的推导($\text{狗}\text{狗}^\star= |狗|\mathbf{E}$)

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 穿脱原则

最后一项的推导

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 三大运算，任何两个运算交换，结果不变

${\textstyle\unicode{x2464}}$ 三大运算的行列式

伴随矩阵行列式的推导

${\textstyle\unicode{x2465}}$ 三大运算的线性加：只有转置满足加法可拆性

${\textstyle\unicode{x2466}}$ 单位矩阵$\mathbf{E}$的三大运算结果还是单位矩阵$\mathbf{E}$

矩阵的逆

定义

矩阵逆的定义

设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，若存在$n$阶方阵$\mathbf{B}$，满足$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，则称矩阵$\mathbf{A}$可逆，$\mathbf{B}$是$\mathbf{A}$的逆矩阵，记为$\mathbf{A}^{-1}$,即$\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}$

必须是方阵才能谈逆矩阵

可逆的充要条件是$\mathbf{A}$不为$\mathbf{0}$ $\iff \text{对应的}n$个向量线性无关

定义法证两个方阵可逆：凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$

凑的方法其实就是“凑完全平方”

性质与公式

凑$\mathbf{E}$的方法

用定义法求逆矩阵

三种方法

凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$
法3分解成分块矩阵

$\color{red}{\text{求矩阵的逆}}$ 一共 $\color{green}{\text{三种方法}}$

用定义法求逆矩阵(一般是用来求抽象型问题)
用伴随矩阵求逆矩阵(用来解具体型)
用初等变换（初等矩阵)求逆矩阵(用来解具体型)

分块矩阵的逆

副对角分块，每个分块分别求逆，再倒着写
图片详情：副对角分块
主对角线元素的逆：每个主对角线元素的倒数
设方程
图片详情

$\color{red}{\text{证明矩阵A可逆}}$ ， $\color{green}{\text{三种方法}}$

A的行列式不为0
凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$

$\color{red}{\text{Q}}$：这个矩阵怎么求逆矩阵： $\color{green}{\text{A}}$ 用初等变换的倍乘性质

图片详情

伴随矩阵

伴随矩阵是对方阵而言的

行的余子式，写到列里面去

$\mathbf{A}\mathbf{A}^\star=\mathbf{A}^\star\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$

以二阶为例的证明

三个天然成立的可交换，最后一个互为逆矩阵才可交换

定义

伴随矩阵的定义

注意:伴随矩阵，每一个元素求了代数余子式之后还需要 $\color{green}{\text{转置}}$ ！！！

性质与公式

$(k\mathbf{A})(k\mathbf{A})^\star=\lvert k \mathbf{A} \rvert \mathbf{E}$将$k\mathbf{A}$看成狗

$|\mathbf{A}^\star|=|\mathbf{A}|^{n-1}$
推导：

用伴随矩阵求逆矩阵

$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^\star$

步骤

先算行列式，$|\mathbf{A}|\neq 0$才能用
写出$|\mathbf{A}|^\star$
代入公式

初等变换与初等矩阵

初等变换

(1)一个非零常$\color{green}{\text{数乘}}$矩阵的某一行(列);

(2)$\color{green}{\text{互换}}$矩阵中某两行(列)的位置;

(3)将矩阵的某一行(列)的k$\color{green}{\text{倍加}}$到另一行(列).

以上三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,且分别称为$\color{green}{\text{倍乘}}$、$\color{green}{\text{互换}}$、$\color{green}{\text{倍加}}$初等行(列)变换.

$\color{green}{\text{左行右列法则}}$：矩阵左乘以初等矩阵就等于对矩阵进行一次初等行变换，矩阵右乘初等矩阵，就等于对该矩阵进行一次初等列变换，该定理简化了用矩阵乘法定义运算的过程。参考文献

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，

(本书有自己的记号规范)

定义

性质与公式

(1)初等矩阵的转置仍是初等矩阵.

(3) 可逆$\mathbf{A}$一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵$\mathbf{E}$

(4)对$n$阶矩阵$\mathbf{A}$进行初等行变换,相当于矩阵$\mathbf{A}$左乘相应的初等矩阵.同样,对$\mathbf{A}$进行初等列变换，相当于矩阵A右乘相应的初等矩阵.

用初等变换（初等矩阵)求逆矩阵

化成单位矩阵的方法

先往下加，再往上加

矩阵方程

$AX=B$

$XA=B$

$AXB=C$

矩阵的秩与等价矩阵

秩

定义

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初等变换不改变秩

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几个重要例子

有关秩的不等式

遇到用不等式相关来解题的，化成对角阵，再来判断

等价矩阵

等价矩阵的定义

等价标准形揭示了经过有限次初等变换，秩为r的矩阵一定化为一个r阶单位阵被0围起来的样子
A、B同型等价矩阵 $\iff$ r(A)=r(B)

向量组

p341

线性代数的主人翁

熟悉矩阵相乘的形状

向量与向量组的线性相关性

如何判断向量组是线性相关的

按照定义如果能够线性凑一个等式，系数不全为0，那么线性相关
凑成两个矩阵的乘积取行列式，值不为0，则线性无关

向量定义

向量定义图片详情

线性组合

n个向量的线性组合

$\bigstar$ 线性表出

与非齐次方程组的解$\mathbf{A}x=\beta$联系

线性表出的定义

能表出

不能表出

$\bigstar$ 线性相关性

与齐次方程组的解$\mathbf{A}x=0$联系

用线性相关性的定义解题

线性相关的定义

无关

n个向量线性相加得0，所有向量前面的系数都是0

判别的七大定理

定理1 向量组线性相关，其中一个向量可以由剩余的向量线性表示

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定理2 $\mathbf{\alpha}$之间线性无关，来了个$\mathbf{\beta}$线性相关，$\mathbf{\beta}$可以由$\mathbf{\alpha}$们线性表示

证明基本上都是定义法

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定理3 以少表多，多的线性相关

以少表多，多的线性相关

定理4：向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组$\mathbf{A}x=\mathbf{0}$有非零解

向量组中向量的维数小于个数（列数大于行数，形状横条），必然线性相关
向量组中向量的维数等于个数（行数等于列数，形状方形）：行列式为0，线性相关；行列式不为0，线性无关
向量组中向量的维数大于个数（列数小于行数，竖条），1.先要化阶梯 2.

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定理5 加一个线性相关的向量，秩不变

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定理6 部分相关，整体必相关

逆否命题成立。整体无关 $\implies$ 部分必无关

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定理7 原来无关 $\implies$ 延长无关

原来相关 $\implies$ 缩短相关（缩短其实应该是不一定的，万一把线性相关的都缩走了就不好了）

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极大线性无关组与向量组的秩

$\bigstar$ 极大无关组

极大线性无关：最简方程组
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是向量本身
秩能表示极大线性无关组的个数

定义

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求法

求极大线性无关组的步骤

将向量组拼成矩阵$\mathbf{A}$，作初等行变换(在做同解变换)，化为行阶梯矩阵，确定$r(\mathbf{A})$（向量组的秩）
按列找出一个秩为$r(\mathbf{A})$的子矩阵，即取为一个极大线性无关组

向量组的秩

向量组的秩，与矩阵的秩的关系：矩阵的秩就是它的行向量组（成或列向量组）的秩。(参考文献)

定义

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有关向量组的秩的重要定理和公式

被表出的秩不大

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$\bigstar$ 等价向量组

定义

两个向量组可以互相线性表出

向量组和他的极大线性无关组是等价的

判别

与等价矩阵的区别

等价矩阵和等价向量组的概念与区别

矩阵：$\mathbf{A},\mathbf{B}\text{同型}$：$\mathbf{A}\text{与}\mathbf{B}$等价$\iff r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$ ($\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$)
等价向量组：$\mathrm{I}$,$\mathrm{II}$(同维即可) $\iff r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I|II})$
- 单方表出则互相表出
- $\blacktriangleright$(按照例2.3.14的说法，难道两个秩相等就能推出$r(\mathrm{I|II})$)

向量空间

概念

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基

坐标

维数

基变换与坐标变换

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变换公式

过渡矩阵

例题

线性方程组

p360

最主要的任务是求解

2021考了12分

增广矩阵

具体型线性方程组

齐次

齐次方程组必有零解

有解条件

当$r(\mathbf{A})=n$时,齐次方程组有唯一零解

当$r(\mathbf{A})=r<n$时,齐次方程组有非零解(有无穷多个解)，且有$n-r$个线性无关解

r是独立方程个数

解的性质

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$\bigstar$ 基础解系和解的结构

是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$的解
线性无关
方程组任意一解可以由基础解系线性表出

求解方法与步骤

作初等行变换化为阶梯型矩阵
按列找出一个秩为$r$的子矩阵，则剩余列位置的未知数即设为自由变量
按基础解系的定义写出通解

$\sharp$ 拓展：为什么只能做初等行变换，做初等列变换的时候会发生什么

求解方法与步骤（学校课件）

非齐次

$\mathbf{b}$能不能线性表出的问题

有解条件

$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}|\mathbf{b}) \begin{cases} =n \quad \text{唯一解} , & \cr <n \quad \text{无穷多解} , & \end{cases} \\ r(\mathbf{A}) + 1=r(\mathbf{A}|\mathbf{b}) \quad \text{无解}$

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解的性质

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求解方法与步骤

非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的一个特解

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抽象型线性方程组

有解条件与解的判定

两道例题

解的结构

理论依据

例题

基础解系的讨论

三个条件

例题

例题2

系数矩阵列向量与解的关系

方程组的解就是描述向量组中各向量之间数量关系的系数

理论依据

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两个方程组的公共解

联立两个方程组求解即可
求出关系，代回通解
令两个基础解系相等

理论依据

题目

法一

法二

法三

同解方程组

通解要求解全相等
公共解只是两个解的交集

理论依据

两道例题

特征值与特征向量

p379

此讲的矩阵均为方阵

总结一下每一讲对形状的限制

1.行列式，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

2.矩阵，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

3.向量组，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

4.方程组，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

5.特征值，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

6.二次型，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

特征值与特征向量

定义

$\mathbf{A}\mathbf{\xi}=\lambda \mathbf{\xi}$

$\mathbf{\xi}$是$\mathbf{A}$的特征值，$\mathbf{\xi}$是$\mathbf{A}$的特征向量

$|\lambda \mathbf{E}- \mathbf{A}|=0$特征方程

性质

上下三角矩阵与对角矩阵的特征值就是对角线元素

特征值的性质

特征值加起来等于迹$tr(\mathbf{A})$

特征值乘起来等于行列式的值

特征向量的性质

(1) $k$重特征值$\lambda$至多只有$k$个线性无关的特征向量(直接使用无需证明)（例2.5.1）

(2) 若$\xi_1,\xi_2$是$\mathbf{A}$属于不同特征值的特征向量，则$\xi_1,\xi_2$线性无关（例2.5.5）

(3) 若$\xi_1,\xi_2$是$\mathbf{A}$属于同一特征值的特征向量，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$仍是$\mathbf{A}$属于特征值$\lambda$的特征向量（例2.5.7）

常用矩阵的特征值和特征向量

求法

具体型矩阵

注：不能有0解，不同时为0

提出法

试根法（试-1，1，0，最高次项的系数是1：试0次项的因子）

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$ 多项式的带余除法(顶级方法)
抽象型矩阵
证明主要是用定义
$\bigstar$(A不是必定不可以求逆吗，A的行列式必须是0？) 答：特征方程不是A
最后一个的证明，塞到矩阵中间的一定是$\mathbf{E}$
$\mathbf{A}^T$特征值不变，特征向量不知道

相似

矩阵相似

定义

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性质

相似矩阵的性质

秩，行列式，特征方程，特征值相同，迹相同
对应的的矩阵多项式和矩阵的幂也相似
对应的逆矩阵也相似
对应的转置也相似
A的伴随和B的伴随也相似

两个矩阵是否相似的判别与证明

矩阵的相似对角化

回答为什么要求特征值和特征向量

能否相似对角化的例题1

能否相似对角化的例题2

定义

$\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda}$,$\mathbf{\Lambda}$为对角矩阵,则称$\mathbf{A}$可相似对角化，$\mathbf{\Lambda}$是$\mathbf{A}$的相似标准型

矩阵的相似对角化的定义

可相似对角化的条件

充分必要条件：$\mathbf{A}$有$n$个线性无关的特征向量

注：特征值与特征向量线性相关的关系

$\begin{cases} \text{普通} \mathbf{A} \begin{cases} \lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} (\text{例2.5.5})\cr \cr \lambda_1 = \lambda_2 \implies \begin{cases} \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{相关}(\text{例2.5.10(D)}) \cr \cr \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} (\text{例2.5.10(C)}) \end{cases} \cr \cr \end{cases} \cr \cr \text{实际对称} \mathbf{A}\text{((必可相似对角化))}\begin{cases} \lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \perp \xi_2 (\text{例2.5.16})\cr \cr \lambda_1 = \lambda_2 \implies \begin{cases} \xi_1 \perp \xi_2 \cr \cr \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} \end{cases} \cr \cr \end{cases} \end{cases}$

两个充分

两个必要

实对称矩阵必可相似于对角阵

相似对角化的步骤

(1) 求$\mathbf{A}$的$\lambda$

(2) 求$\mathbf{A}$的$\lambda$的$\xi$

(3)令$P=(\xi_1\cdots \xi_2)$

应用

实对称矩阵的相似对角化

(1)$\mathbf{A}$是实对称矩阵,则$\mathbf{A}$的特征值是实数﹐特征向量是实向量(不用证)

(2)实对称矩阵$\mathbf{A}$的属于不同特征值的特征向量相互正交(证明见例2.5.16).

（3）实是对称矩阵的$\mathbf{P}$可以变换(正交化单位化)为正交矩阵

反问题

反求参数

反求参数的三种方法

反求$\mathbf{A}$

反求矩阵

$\begin{cases} {\textstyle\unicode{x2460}} \mathbf{A}=\mathbf{P} \Lambda \mathbf{P}^{-1},(例2.5.21) & \cr \bigstar {\textstyle\unicode{x2461}} \mathbf{A}^k=\mathbf{P} \Lambda^k \mathbf{P}^{-1} , & \cr \bigstar {\textstyle\unicode{x2462}} f(\mathbf{A})=\mathbf{P} f(\Lambda) \mathbf{P}^{-1} , & \cr \end{cases}$