zy2022-线性代数

行列式

p295

5分

只有方阵才能谈行列式

行列式的定义与性质

$a_{ij}$ i代表行号，j代表列号

主对角线，左上到右下；副对角线，右上到左下

行列式用字母$D$表示

本质定义(第一种定义)

2阶行列式是由两个2维向量(行向量)组成的,其(运算规则的)结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
3阶行列式其(运算规则的)结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积.
n阶行列式是由n个n维向量其(运算规则的)结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积.
由此看来，一个重要观点出现了:读者一开始,就应该把行列式看作是由若干个向量拼成的,并且要把这些向量作运算.
行列式线性无关，可以理解为行向量组成的图形面积不为0
行列式研究两个向量线性相关的一种工具
行列式算出来到底是几不重要，等不等于0才重要

性质

性质1 行列互换,其值不变,即 $|A|=|A^T|$.

性质2 行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零.(面积为0)

性质3 行列式中某行(列)元素有公因子k(k $\neq$ 0)，则k可提到行列式外面

注意只乘进某一行去
用面积理解也好理解
倍乘

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3}
\end{vmatrix}
= k
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3}
\end{vmatrix}
$$

性质4 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和，

注意是$\color{red}{\text{单}}$行可加性

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \cr
\vdots & \vdots& & \vdots \cr
a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{n3}
\end{vmatrix}
$$

性质5 行列式中两行(列)互换,行列式的值反号.

互换性质

性质6 行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零.

性质7和性质2可以推导性质6

性质7 行列式中某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式的值不变.

倍加

初等变换

互换
倍乘
倍加

逆序数法定义(第二种定义)

可以用来检验

排列和逆序

排列：由n个数$1,2,\cdots,n$组成的一个有序数组称为一个n级排列,如23145是一个5级排列,41352也是一个5级排列.n级排列共有n!个.

逆序：一个n级排列$i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t \cdots i_n$。中,若$i_s>i_t$,且$i_s$排在$i_t$,前面,则称这两个数构成一个逆序.

逆序数：一个排列中,逆序的总数称为该排列的逆序数,记作 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$,如$\tau$(231546)=3,$\tau$(621534)=8.由小到大顺排的排列称为自然排序,如12345,显然,自然排序的逆序数为0.

奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数时,该排列称为奇排列;排列的逆序数为偶数时,该排列称为偶排列.

n阶行列式的定义

取不同行不同列的乘积，行下标顺排，故为$n!$项和。当列下标为奇排列时,应附加负号;当列下标为偶排列时,应附加正号.

用来求给定展开项的正负号

展开定理(第三种定义)

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

余子式

$$\text{在}n\text{阶行列式中,去掉元素}a_{ij}\text{所在的第i行、第j列元素,}$$

$$\text{由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的}n-1\text{阶行列式称为元素}a_{ij}\text{的余子式,记作}M_{ij}$$

代数余子式

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

$$
\text{余子式}M_{ij}\text{乘}(-1)^{i+j}\text{后称为}a_{ij}\text{的代数余子式，记作}A_{ij}\text{,即}
$$

$$
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
$$

行列式按某一行(列)展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和,即

但行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和,结果为零,即

几个重要的行列式

主对角线行列式

副对角线行列式

系数可以用逆序来理解

拉普拉斯展开式

范德蒙德行列式

下标大的要把下标比他小的都减一遍再相乘

$\bigstar$ 行列式的计算

$\color{red}{\text{一句话总结}}$：${\textstyle\unicode{x2460}}$ 初等行变化，化成基本型，${\textstyle\unicode{x2461}}$递推

直接展开
- 0元素很多的情况
- 阶数不高的情况
爪形
- 斜爪消平爪：依次提出斜爪上的值(倍乘性质)，从第二行开始每一行依次去减第一行，就会变成主对角线行列式
异爪形
- 阶数低，直接展开：第${\textstyle\unicode{x2462}}$ 种从最下面那一行开始展开比较好
- 阶数高，递推
  - $\text{建立} D_n \text{与} D_{n-1} \text{的关系} \implies D_n $
  - 找的$D_{n-1}$满足分布相同只是阶数降了一阶
行(列)和相等
- 加到第一行(列)，提出去，在做初等变换(用第一行(列)去减下面的每一行)变成主对角行列式
消零化基本形
拉普拉斯展开：交换行列变成拉普拉斯展开
范德蒙德行列式
爪型vs异爪型
基本型指的是4个重要的行列式

具体型

化为基本型

递推法

行列式表示的函数和方程

抽象型

用性质

用公式$|AB|=|A||B|$

公式证明的参考文献

余子式与代数余子式的计算

$$
a_{ij}\text{的}A_{ij}(\text{代数余子式})\text{与}i,j(\text{的位置})\text{有关，与}a_{ij}\text{的大小无关}
$$

矩阵

pp327(进度)

p314

注：2021考研实际线代大概分数为12分

矩阵的定义及其基本运算

矩阵的加减乘除
表达系统信息.
重要观点
- 矩阵也是由若干行(列)向量拼成的
- 矩阵不能运算,但是其若干行(列)向量之间存在着某种联系

秩：矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数.

设A是m×n矩阵,A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩,记为r(A).

也可以这样定义;若存在k阶子式不为零,而任意k十1阶子式(如果有的话)全为零,则r(A)=k,且

$$
r(A_{n\times n})(\text{满秩})=n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}
$$

n阶子式的概念

矩阵的四大运算

行列式
转置
逆
伴随

$\color{red}{\text{Q}}$:如何化成单位矩阵

$\color{red}{\text{A}}$:如下图，~~注意最好不要一开始用第一行化不然的话，容易化成副对角矩阵，还要交换n-1次(消第一列的话还是会消成主对角阵)~~

图片详情

证明题万能思路：要么是考定义，要么是考运算（初级阶段

定义

同型矩阵：两个矩阵，行数和列数相等

方阵：对于一个矩阵，其行数和列数相等

几种重要的矩阵

对称矩阵：关于主对角线对称， $\mathbf{A}^T=\mathbf{A}$

$\bigstar$ 正交矩阵：$\mathbf{A}\mathbf{A}^T=\mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$，由规范正交基组成

分块矩阵：子矩阵

对角矩阵：非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵.

基本运算

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算,满足下列运算规律:

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 交换律A+B=B+A;

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 结合律(A+B)+C=A+(B+C);

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA;

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 数和矩阵相乘的结合律k(lA)=(kl)A=l(kA).

其中,A,B,C是同型矩阵,k,l是任意常数.

当n阶方阵A计算行列式时,记成|A|.

注意

$|kA|=k^n|A|\neq k|A|$
一般$|A+B| \neq |A|+|B|$：（$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{0}$，但$\mathbf{A},\mathbf{B}$都不是$\mathbf{0}$）
$A \neq \mathbf{0} \nRightarrow |A|\neq 0$
$A \neq B\nRightarrow |A|\neq |B|$

相等

同型矩阵，且对应元素相同

加法

同型矩阵可加

数乘矩阵

每一个元素都要乘

矩阵乘法

满足的规律

结合律
分配律
数乘与矩阵乘积的结合律
矩阵的乘法一般不满足交换律

矩阵乘法不满足交换律：但是当矩阵时一阶矩阵的时候可以提到外面去

转置矩阵

转置矩阵的运算规律

$(A^T)^T=A$
$(kA)^T=kA^T$
$(A+B)^T = A^T+ B^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
$\text{当}m=n时,|A^T|=|A|$

向量的内积与正交

$\alpha\text{与}\beta$的内积记为$(\alpha,\beta)$

默认$\alpha$是列向量，线代里面向量不打箭头

正交：当$\alpha^T\beta=0,\text{称向量}\alpha \cdot \beta\text{是正交向量}$

模：L2正则

标准正交向量组：任一向量的模为1，任两向量的内积为0

施密特正交化

施密特正交化的方法

施密特正交化的时候对求出来的正交向量标准化的时候，可以直接让分母消失，再算(其余就需要用公式了，只有最后标准化的时候可以投机)

矩阵的幂

$\mathbf{A}\text{是一个方阵}\overbrace{AA\cdots A}^{m\text{个}}\text{称为}\mathbf{A}\text{的}m\text{次幂}$

可以运用多项式

求矩阵幂的方法：矩阵乘法的结合律，求一次再用结合律，化成$\mathbf{E}+\mathbf{A}$
拆成两个矩阵(列*行)的乘积，中间用结合律为常数
多写几次找规律(最万能)

矩阵的幂的性质

主对角线元素为零的上三角矩阵$\mathbf{B}$，有$\mathbf{B}^n=\mathbf{O}$

方阵乘积的行列式

设$\mathbf{A}\mathbf{B}$是同阶方阵，则$|AB|=|A||B|$

复合运算（三大运算,7组重要的公式）

${\textstyle\unicode{x2460}}$ A是方阵，两重相同的运算结果

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 数乘

最后一项的推导($\text{狗}\text{狗}^\star= |狗|\mathbf{E}$)

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 穿脱原则

最后一项的推导

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 三大运算，任何两个运算交换，结果不变

${\textstyle\unicode{x2464}}$ 三大运算的行列式

伴随矩阵行列式的推导

${\textstyle\unicode{x2465}}$ 三大运算的线性加：只有转置满足加法可拆性

${\textstyle\unicode{x2466}}$ 单位矩阵$\mathbf{E}$的三大运算结果还是单位矩阵$\mathbf{E}$

矩阵的逆

定义

矩阵逆的定义

设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，若存在$n$阶方阵$\mathbf{B}$，满足$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，则称矩阵$\mathbf{A}$可逆，$\mathbf{B}$是$\mathbf{A}$的逆矩阵，记为$\mathbf{A}^{-1}$,即$\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}$

必须是方阵才能谈逆矩阵

可逆的充要条件是$\mathbf{A}$不为$\mathbf{0}$ $\iff \text{对应的}n$个向量线性无关

定义法证两个方阵可逆：凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$

凑的方法其实就是“凑完全平方”

性质与公式

凑$\mathbf{E}$的方法

用定义法求逆矩阵

三种方法

凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$
法3分解成分块矩阵

$\color{red}{\text{求矩阵的逆}}$ 一共 $\color{green}{\text{三种方法}}$

用定义法求逆矩阵(一般是用来求抽象型问题)
用伴随矩阵求逆矩阵(用来解具体型)
用初等变换（初等矩阵)求逆矩阵(用来解具体型)

分块矩阵的逆

副对角分块，每个分块分别求逆，再倒着写
图片详情：副对角分块
主对角线元素的逆：每个主对角线元素的倒数
设方程
图片详情

$\color{red}{\text{证明矩阵A可逆}}$ ， $\color{green}{\text{三种方法}}$

A的行列式不为0
凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$

$\color{red}{\text{Q}}$：这个矩阵怎么求逆矩阵： $\color{green}{\text{A}}$ 用初等变换的倍乘性质

图片详情

伴随矩阵

伴随矩阵是对方阵而言的

行的余子式，写到列里面去

$\mathbf{A}\mathbf{A}^\star=\mathbf{A}^\star\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$

以二阶为例的证明

三个天然成立的可交换，最后一个互为逆矩阵才可交换

定义

伴随矩阵的定义

注意:伴随矩阵，每一个元素求了代数余子式之后还需要 $\color{green}{\text{转置}}$ ！！！

性质与公式

$(k\mathbf{A})(k\mathbf{A})^\star=\lvert k \mathbf{A} \rvert \mathbf{E}$将$k\mathbf{A}$看成狗

$|\mathbf{A}^\star|=|\mathbf{A}|^{n-1}$
推导：

用伴随矩阵求逆矩阵

$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^\star$

步骤

先算行列式，$|\mathbf{A}|\neq 0$才能用
写出$|\mathbf{A}|^\star$
代入公式

初等变换与初等矩阵

初等变换

(1)一个非零常$\color{green}{\text{数乘}}$矩阵的某一行(列);

(2)$\color{green}{\text{互换}}$矩阵中某两行(列)的位置;

(3)将矩阵的某一行(列)的k$\color{green}{\text{倍加}}$到另一行(列).

以上三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,且分别称为$\color{green}{\text{倍乘}}$、$\color{green}{\text{互换}}$、$\color{green}{\text{倍加}}$初等行(列)变换.

$\color{green}{\text{左行右列法则}}$：矩阵左乘以初等矩阵就等于对矩阵进行一次初等行变换，矩阵右乘初等矩阵，就等于对该矩阵进行一次初等列变换，该定理简化了用矩阵乘法定义运算的过程。参考文献

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，

(本书有自己的记号规范)

定义

性质与公式

(1)初等矩阵的转置仍是初等矩阵.

(3) 可逆$\mathbf{A}$一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵$\mathbf{E}$

(4)对$n$阶矩阵$\mathbf{A}$进行初等行变换,相当于矩阵$\mathbf{A}$左乘相应的初等矩阵.同样,对$\mathbf{A}$进行初等列变换，相当于矩阵A右乘相应的初等矩阵.

用初等变换（初等矩阵)求逆矩阵

化成单位矩阵的方法

先往下加，再往上加

矩阵方程

$AX=B$

$XA=B$

$AXB=C$

矩阵的秩与等价矩阵

秩

定义

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初等变换不改变秩

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几个重要例子

有关秩的不等式

遇到用不等式相关来解题的，化成对角阵，再来判断

等价矩阵

等价矩阵的定义

等价标准形揭示了经过有限次初等变换，秩为r的矩阵一定化为一个r阶单位阵被0围起来的样子

A、B同型等价矩阵 $\iff$ r(A)=r(B)

向量组

p341

线性代数的主人翁

熟悉矩阵相乘的形状

向量与向量组的线性相关性

如何判断向量组是线性相关的

按照定义如果能够线性凑一个等式，系数不全为0，那么线性相关
凑成两个矩阵的乘积取行列式，值不为0，则线性无关

向量定义

向量定义图片详情

线性组合

n个向量的线性组合

$\bigstar$ 线性表出

与非齐次方程组的解$\mathbf{A}x=\beta$联系

线性表出的定义

能表出

不能表出

$\bigstar$ 线性相关性

与齐次方程组的解$\mathbf{A}x=0$联系

用线性相关性的定义解题

线性相关的定义

无关

n个向量线性相加得0，所有向量前面的系数都是0

判别的七大定理

定理1 向量组线性相关，其中一个向量可以由剩余的向量线性表示

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定理2 $\mathbf{\alpha}$之间线性无关，来了个$\mathbf{\beta}$线性相关，$\mathbf{\beta}$可以由$\mathbf{\alpha}$们线性表示

证明基本上都是定义法

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定理3 以少表多，多的线性相关

以少表多，多的线性相关

定理4：向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组$\mathbf{A}x=\mathbf{0}$有非零解

向量组中向量的维数小于个数（列数大于行数，形状横条），必然线性相关
向量组中向量的维数等于个数（行数等于列数，形状方形）：行列式为0，线性相关；行列式不为0，线性无关
向量组中向量的维数大于个数（列数小于行数，竖条），1.先要化阶梯 2.

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定理5 加一个线性相关的向量，秩不变

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定理6 部分相关，整体必相关

逆否命题成立。整体无关 $\implies$ 部分必无关

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定理7 原来无关 $\implies$ 延长无关

原来相关 $\implies$ 缩短相关（缩短其实应该是不一定的，万一把线性相关的都缩走了就不好了）

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极大线性无关组与向量组的秩

$\bigstar$ 极大无关组

极大线性无关：最简方程组
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是向量本身
秩能表示极大线性无关组的个数

定义

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求法

求极大线性无关组的步骤

将向量组拼成矩阵$\mathbf{A}$，作初等行变换(在做同解变换)，化为行阶梯矩阵，确定$r(\mathbf{A})$（向量组的秩）
按列找出一个秩为$r(\mathbf{A})$的子矩阵，即取为一个极大线性无关组

向量组的秩

向量组的秩，与矩阵的秩的关系：矩阵的秩就是它的行向量组（成或列向量组）的秩。(参考文献)

定义

图片详情

有关向量组的秩的重要定理和公式

被表出的秩不大

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$\bigstar$ 等价向量组

定义

两个向量组可以互相线性表出

向量组和他的极大线性无关组是等价的

判别

与等价矩阵的区别

等价矩阵和等价向量组的概念与区别

矩阵：$\mathbf{A},\mathbf{B}\text{同型}$：$\mathbf{A}\text{与}\mathbf{B}$等价$\iff r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$ ($\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$)
等价向量组：$\mathrm{I}$,$\mathrm{II}$(同维即可) $\iff r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I|II})$
- 单方表出则互相表出
- $\blacktriangleright$(按照例2.3.14的说法，难道两个秩相等就能推出$r(\mathrm{I|II})$)

向量空间

概念

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基

坐标

维数

基变换与坐标变换

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变换公式

过渡矩阵

例题

线性方程组

p360

最主要的任务是求解

2021考了12分

增广矩阵

具体型线性方程组

齐次

齐次方程组必有零解

有解条件

当$r(\mathbf{A})=n$时,齐次方程组有唯一零解

当$r(\mathbf{A})=r<n$时,齐次方程组有非零解(有无穷多个解)，且有$n-r$个线性无关解

r是独立方程个数

解的性质

图片详情

$\bigstar$ 基础解系和解的结构

是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$的解
线性无关
方程组任意一解可以由基础解系线性表出

求解方法与步骤

作初等行变换化为阶梯型矩阵
按列找出一个秩为$r$的子矩阵，则剩余列位置的未知数即设为自由变量
按基础解系的定义写出通解

$\sharp$ 拓展：为什么只能做初等行变换，做初等列变换的时候会发生什么

求解方法与步骤（学校课件）

非齐次

$\mathbf{b}$能不能线性表出的问题

有解条件

$$
r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}|\mathbf{b}) \begin{cases}
=n \quad \text{唯一解} , & \cr
<n \quad \text{无穷多解} , &
\end{cases} \
r(\mathbf{A}) + 1=r(\mathbf{A}|\mathbf{b}) \quad \text{无解}
$$

图片详情

解的性质

图片详情

求解方法与步骤

非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的一个特解

图片详情

抽象型线性方程组

有解条件与解的判定

两道例题

解的结构

理论依据

例题

基础解系的讨论

三个条件

例题

例题2

系数矩阵列向量与解的关系

方程组的解就是描述向量组中各向量之间数量关系的系数

理论依据

图片详情

两个方程组的公共解

联立两个方程组求解即可
求出关系，代回通解
令两个基础解系相等

理论依据

题目

法一

法二

法三

同解方程组

通解要求解全相等
公共解只是两个解的交集

理论依据

两道例题

特征值与特征向量

p379

此讲的矩阵均为方阵

总结一下每一讲对形状的限制

1.行列式，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

2.矩阵，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

3.向量组，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

4.方程组，没有限定形状,$\mathbf{A}_{m \times n}$

5.特征值，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

6.二次型，一定是方阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$

特征值与特征向量

定义

$\mathbf{A}\mathbf{\xi}=\lambda \mathbf{\xi}$

$\mathbf{\xi}$是$\mathbf{A}$的特征值，$\mathbf{\xi}$是$\mathbf{A}$的特征向量

$|\lambda \mathbf{E}- \mathbf{A}|=0$特征方程

性质

上下三角矩阵与对角矩阵的特征值就是对角线元素

特征值的性质

特征值加起来等于迹$tr(\mathbf{A})$

特征值乘起来等于行列式的值

特征向量的性质

(1) $k$重特征值$\lambda$至多只有$k$个线性无关的特征向量(直接使用无需证明)（例2.5.1）

(2) 若$\xi_1,\xi_2$是$\mathbf{A}$属于不同特征值的特征向量，则$\xi_1,\xi_2$线性无关（例2.5.5）

(3) 若$\xi_1,\xi_2$是$\mathbf{A}$属于同一特征值的特征向量，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$仍是$\mathbf{A}$属于特征值$\lambda$的特征向量（例2.5.7）

常用矩阵的特征值和特征向量

求法

具体型矩阵

注：不能有0解，不同时为0

提出法

试根法（试-1，1，0，最高次项的系数是1：试0次项的因子）

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$ 多项式的带余除法(顶级方法)
抽象型矩阵
证明主要是用定义
$\bigstar$(A不是必定不可以求逆吗，A的行列式必须是0？) 答：特征方程不是A
最后一个的证明，塞到矩阵中间的一定是$\mathbf{E}$
$\mathbf{A}^T$特征值不变，特征向量不知道

相似

矩阵相似

定义

图片详情

性质

相似矩阵的性质

秩，行列式，特征方程，特征值相同，迹相同
对应的的矩阵多项式和矩阵的幂也相似
对应的逆矩阵也相似
对应的转置也相似
A的伴随和B的伴随也相似

两个矩阵是否相似的判别与证明

矩阵的相似对角化

回答为什么要求特征值和特征向量

能否相似对角化的例题1

能否相似对角化的例题2

定义

$\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda}$,$\mathbf{\Lambda}$为对角矩阵,则称$\mathbf{A}$可相似对角化，$\mathbf{\Lambda}$是$\mathbf{A}$的相似标准型

矩阵的相似对角化的定义

可相似对角化的条件

充分必要条件：$\mathbf{A}$有$n$个线性无关的特征向量

注：特征值与特征向量线性相关的关系

$$
\begin{cases}
\text{普通} \mathbf{A} \begin{cases}
\lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} (\text{例2.5.5})\cr \cr
\lambda_1 = \lambda_2 \implies \begin{cases}
\xi_1 \text{与} \xi_2 \text{相关}(\text{例2.5.10(D)}) \cr \cr
\xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关} (\text{例2.5.10(C)})
\end{cases} \cr \cr
\end{cases} \cr \cr
\text{实际对称} \mathbf{A}\text{((必可相似对角化))}\begin{cases}
\lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \perp \xi_2 (\text{例2.5.16})\cr \cr
\lambda_1 = \lambda_2 \implies \begin{cases}
\xi_1 \perp \xi_2 \cr \cr
\xi_1 \text{与} \xi_2 \text{无关}
\end{cases} \cr \cr
\end{cases}
\end{cases}
$$

两个充分

两个必要

实对称矩阵必可相似于对角阵

相似对角化的步骤

(1) 求$\mathbf{A}$的$\lambda$

(2) 求$\mathbf{A}$的$\lambda$的$\xi$

(3)令$P=(\xi_1\cdots \xi_2)$

应用

实对称矩阵的相似对角化

(1)$\mathbf{A}$是实对称矩阵,则$\mathbf{A}$的特征值是实数﹐特征向量是实向量(不用证)

(2)实对称矩阵$\mathbf{A}$的属于不同特征值的特征向量相互正交(证明见例2.5.16).

（3）实是对称矩阵的$\mathbf{P}$可以变换(正交化单位化)为正交矩阵

反问题

反求参数

反求参数的三种方法

反求$\mathbf{A}$

反求矩阵
$$
\begin{cases}
{\textstyle\unicode{x2460}} \mathbf{A}=\mathbf{P} \Lambda \mathbf{P}^{-1},(例2.5.21) & \cr
\bigstar {\textstyle\unicode{x2461}} \mathbf{A}^k=\mathbf{P} \Lambda^k \mathbf{P}^{-1} , & \cr
\bigstar {\textstyle\unicode{x2462}} f(\mathbf{A})=\mathbf{P} f(\Lambda) \mathbf{P}^{-1} , & \cr
\end{cases}
$$