基础30讲-线性代数-ch4-线性方程组

zy2022

线性代数

线性方程组

p360

最主要的任务是求解

2021考了12分

增广矩阵

具体型线性方程组

齐次

• 齐次方程组必有零解

有解条件

当$r(\mathbf{A})=n$时,齐次方程组有唯一零解

当$r(\mathbf{A})=r<n$时,齐次方程组有非零解(有无穷多个解)，且有$n-r$个线性无关解

• r是独立方程个数

解的性质

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$\bigstar$ 基础解系和解的结构

• 是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$的解
• 线性无关
• 方程组任意一解可以由基础解系线性表出

求解方法与步骤

• 作初等行变换化为阶梯型矩阵
• 按列找出一个秩为$r$的子矩阵，则剩余列位置的未知数即设为自由变量
• 按基础解系的定义写出通解

$\sharp$ 拓展：为什么只能做初等行变换，做初等列变换的时候会发生什么

求解方法与步骤（学校课件）

非齐次

• $\mathbf{b}$能不能线性表出的问题

有解条件

$$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}|\mathbf{b}) \begin{cases} =n \quad \text{唯一解} , & \cr <n \quad \text{无穷多解} , & \end{cases} \\ r(\mathbf{A}) + 1=r(\mathbf{A}|\mathbf{b}) \quad \text{无解}$$

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解的性质

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求解方法与步骤

非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的一个特解

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抽象型线性方程组

有解条件与解的判定

两道例题

解的结构

理论依据

例题

基础解系的讨论

• 三个条件
  

例题

例题2

系数矩阵列向量与解的关系

• 方程组的解就是描述向量组中各向量之间数量关系的系数

理论依据

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两个方程组的公共解

• 联立两个方程组求解即可
• 求出关系，代回通解
• 令两个基础解系相等

理论依据

题目

法一

法二

法三

同解方程组

• 通解要求解全相等
• 公共解只是两个解的交集

理论依据

两道例题