基础30讲-线性代数-ch3-向量组

zy2022

线性代数

向量组

p341

线性代数的主人翁

熟悉矩阵相乘的形状

向量与向量组的线性相关性

如何判断向量组是线性相关的

• 按照定义如果能够线性凑一个等式，系数不全为0，那么线性相关
• 凑成两个矩阵的乘积取行列式，值不为0，则线性无关

向量定义

向量定义图片详情

线性组合

n个向量的线性组合

$★$ 线性表出

• 与非齐次方程组的解$\mathbf{A}x=\beta$联系

线性表出的定义

能表出

不能表出

$★$ 线性相关性

• 与齐次方程组的解$\mathbf{A}x=0$联系

用线性相关性的定义解题

线性相关的定义

相关

含有零向量或有成比例的向量的向量组必线性相关.

如果只有一个向量且线性相关，这个向量是0向量

无关

n个向量线性相加得0，所有向量前面的系数都是0

判别的七大定理

定理1 向量组线性相关，其中一个向量可以由剩余的向量线性表示

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定理2 $\alpha$之间线性无关，来了个$\beta$线性相关，$\beta$可以由$\alpha$们线性表示

• 证明基本上都是定义法

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定理3 以少表多，多的线性相关

以少表多，多的线性相关

定理4：向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组$\mathbf{A}x=\mathbf{0}$有非零解

• 向量组中向量的维数小于个数（列数大于行数，形状横条），必然线性相关
• 向量组中向量的维数等于个数（行数等于列数，形状方形）：行列式为0，线性相关；行列式不为0，线性无关
• 向量组中向量的维数大于个数（列数小于行数，竖条），1.先要化阶梯 2.

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定理5 加一个线性相关的向量，秩不变

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定理6 部分相关，整体必相关

• 逆否命题成立。整体无关 $⟹$ 部分必无关

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定理7 原来无关 $⟹$ 延长无关

• 原来相关 $⟹$ 缩短相关（缩短其实应该是不一定的，万一把线性相关的都缩走了就不好了）

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极大线性无关组与向量组的秩

$★$ 极大无关组

• 极大线性无关：最简方程组
• 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是向量本身
• 秩能表示极大线性无关组的个数

定义

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求法

求极大线性无关组的步骤

• 将向量组拼成矩阵$\mathbf{A}$，作初等行变换(在做同解变换)，化为行阶梯矩阵，确定$r(\mathbf{A})$（向量组的秩）
• 按列找出一个秩为$r(\mathbf{A})$的子矩阵，即取为一个极大线性无关组

向量组的秩

• 向量组的秩，与矩阵的秩的关系：矩阵的秩就是它的行向量组（成或列向量组）的秩。(参考文献)

定义

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有关向量组的秩的重要定理和公式

被表出的秩不大

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$★$ 等价向量组

定义

两个向量组可以互相线性表出

向量组和他的极大线性无关组是等价的

判别

与等价矩阵的区别

等价矩阵和等价向量组的概念与区别

• 矩阵：$\mathbf{A},\mathbf{B}\text{同型}$：$\mathbf{A}\text{与}\mathbf{B}$等价$⟺r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$ ($\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$)
• 等价向量组：$\mathrm{I}$,$\mathrm{II}$(同维即可) $⟺r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I}|\mathrm{II})$
  • 单方表出则互相表出
  • $▸$(按照例2.3.14的说法，难道两个秩相等就能推出$r(\mathrm{I}|\mathrm{II})$)

向量空间

概念

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基

坐标

维数

基变换与坐标变换

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变换公式

过渡矩阵

例题