zy2022
线性代数
矩阵
pp327(进度)
p314
注:2021考研实际线代大概分数为12分
矩阵的定义及其基本运算
- 矩阵的加减乘除
- 表达系统信息.
- 重要观点
- 矩阵也是由若干行(列)向量拼成的
- 矩阵不能运算,但是其若干行(列)向量之间存在着某种联系
秩:矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数.
设A是m×n矩阵,A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩,记为r(A).
也可以这样定义;若存在k阶子式不为零,而任意k十1阶子式(如果有的话)全为零,则r(A)=k,且
$$
r(A_{n\times n})(\text{满秩})=n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}
$$
n阶子式的概念
矩阵的四大运算
- 行列式
- 转置
- 逆
- 伴随
$\color{red}{\text{Q}}$:如何化成单位矩阵
$\color{red}{\text{A}}$:如下图,注意最好不要一开始用第一行化不然的话,容易化成副对角矩阵,还要交换n-1次(消第一列的话还是会消成主对角阵)
图片详情
证明题万能思路:要么是考定义,要么是考运算(初级阶段
定义
同型矩阵:两个矩阵,行数和列数相等
方阵:对于一个矩阵,其行数和列数相等
几种重要的矩阵
对称矩阵:关于主对角线对称, $\mathbf{A}^T=\mathbf{A}$
$\bigstar$ 正交矩阵:$\mathbf{A}\mathbf{A}^T=\mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$,由规范正交基组成
分块矩阵:子矩阵
对角矩阵:非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵.
基本运算
加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算,满足下列运算规律:
${\textstyle\unicode{x2460}}$ 交换律A+B=B+A;
${\textstyle\unicode{x2461}}$ 结合律(A+B)+C=A+(B+C);
${\textstyle\unicode{x2462}}$ 分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA;
${\textstyle\unicode{x2463}}$ 数和矩阵相乘的结合律k(lA)=(kl)A=l(kA).
其中,A,B,C是同型矩阵,k,l是任意常数.
当n阶方阵A计算行列式时,记成|A|.
注意
- $|kA|=k^n|A|\neq k|A|$
- 一般$|A+B| \neq |A|+|B|$:($\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{0}$,但$\mathbf{A},\mathbf{B}$都不是$\mathbf{0}$)
- $A \neq \mathbf{0} \nRightarrow |A|\neq 0$
- $A \neq B\nRightarrow |A|\neq |B|$
相等
同型矩阵,且对应元素相同
加法
同型矩阵可加
数乘矩阵
每一个元素都要乘
矩阵乘法
满足的规律
- 结合律
- 分配律
- 数乘与矩阵乘积的结合律
- 矩阵的乘法一般不满足交换律
矩阵乘法不满足交换律:但是当矩阵时一阶矩阵的时候可以提到外面去
转置矩阵
转置矩阵的运算规律
- $(A^T)^T=A$
- $(kA)^T=kA^T$
- $(A+B)^T = A^T+ B^T$
- $(AB)^T=B^TA^T$
- $\text{当}m=n时,|A^T|=|A|$
向量的内积与正交
$\alpha\text{与}\beta$的内积记为$(\alpha,\beta)$
默认$\alpha$是列向量,线代里面向量不打箭头
正交:当$\alpha^T\beta=0,\text{称向量}\alpha \cdot \beta\text{是正交向量}$
模:L2正则
标准正交向量组:任一向量的模为1,任两向量的内积为0
施密特正交化
施密特正交化的方法
施密特正交化的时候对求出来的正交向量标准化的时候,可以直接让分母消失,再算(其余就需要用公式了,只有最后标准化的时候可以投机)
矩阵的幂
$\mathbf{A}\text{是一个方阵}\overbrace{AA\cdots A}^{m\text{个}}\text{称为}\mathbf{A}\text{的}m\text{次幂}$
可以运用多项式
求矩阵幂的方法:矩阵乘法的结合律,求一次再用结合律,化成$\mathbf{E}+\mathbf{A}$
拆成两个矩阵(列*行)的乘积,中间用结合律为常数
多写几次找规律(最万能)
矩阵的幂的性质
- 主对角线元素为零的上三角矩阵$\mathbf{B}$,有$\mathbf{B}^n=\mathbf{O}$
方阵乘积的行列式
设$\mathbf{A}\mathbf{B}$是同阶方阵,则$|AB|=|A||B|$
复合运算(三大运算,7组重要的公式)
${\textstyle\unicode{x2460}}$ A是方阵,两重相同的运算结果
${\textstyle\unicode{x2461}}$ 数乘
- 最后一项的推导($\text{狗}\text{狗}^\star= |狗|\mathbf{E}$)
${\textstyle\unicode{x2462}}$ 穿脱原则
- 最后一项的推导
${\textstyle\unicode{x2463}}$ 三大运算,任何两个运算交换,结果不变
${\textstyle\unicode{x2464}}$ 三大运算的行列式
伴随矩阵行列式的推导
${\textstyle\unicode{x2465}}$ 三大运算的线性加:只有转置满足加法可拆性
${\textstyle\unicode{x2466}}$ 单位矩阵$\mathbf{E}$的三大运算结果还是单位矩阵$\mathbf{E}$
矩阵的逆
定义
矩阵逆的定义
设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵,若存在$n$阶方阵$\mathbf{B}$,满足$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$,则称矩阵$\mathbf{A}$可逆,$\mathbf{B}$是$\mathbf{A}$的逆矩阵,记为$\mathbf{A}^{-1}$,即$\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}$
必须是方阵才能谈逆矩阵
可逆的充要条件是$\mathbf{A}$不为$\mathbf{0}$ $\iff \text{对应的}n$个向量线性无关
定义法证两个方阵可逆:凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
凑的方法其实就是“凑完全平方”
性质与公式
凑$\mathbf{E}$的方法
用定义法求逆矩阵
三种方法
- 凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
- 分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$
- 法3分解成分块矩阵
$\color{red}{\text{求矩阵的逆}}$ 一共 $\color{green}{\text{三种方法}}$
- 用定义法求逆矩阵(一般是用来求抽象型问题)
- 用伴随矩阵求逆矩阵(用来解具体型)
- 用初等变换(初等矩阵)求逆矩阵(用来解具体型)
分块矩阵的逆
副对角分块,每个分块分别求逆,再倒着写
图片详情:副对角分块
主对角线元素的逆:每个主对角线元素的倒数
设方程
图片详情
$\color{red}{\text{证明矩阵A可逆}}$ , $\color{green}{\text{三种方法}}$
- A的行列式不为0
- 凑两个方阵能等价相乘$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$
- 分解为$\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{C},\mathbf{B},\mathbf{C}\text{可逆},\mathbf{A}可逆$
$\color{red}{\text{Q}}$:这个矩阵怎么求逆矩阵: $\color{green}{\text{A}}$ 用初等变换的倍乘性质
图片详情
伴随矩阵
伴随矩阵是对方阵而言的
行的余子式,写到列里面去
$\mathbf{A}\mathbf{A}^\star=\mathbf{A}^\star\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$
以二阶为例的证明
三个天然成立的可交换,最后一个互为逆矩阵才可交换
定义
伴随矩阵的定义
注意:伴随矩阵,每一个元素求了代数余子式之后还需要 $\color{green}{\text{转置}}$ !!!
性质与公式
$(k\mathbf{A})(k\mathbf{A})^\star=\lvert k \mathbf{A} \rvert \mathbf{E}$将$k\mathbf{A}$看成狗
$|\mathbf{A}^\star|=|\mathbf{A}|^{n-1}$
推导:
用伴随矩阵求逆矩阵
$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}^\star$
步骤
- 先算行列式,$|\mathbf{A}|\neq 0$才能用
- 写出$|\mathbf{A}|^\star$
- 代入公式
初等变换与初等矩阵
初等变换
(1)一个非零常$\color{green}{\text{数乘}}$矩阵的某一行(列);
(2)$\color{green}{\text{互换}}$矩阵中某两行(列)的位置;
(3)将矩阵的某一行(列)的k$\color{green}{\text{倍加}}$到另一行(列).
以上三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,且分别称为$\color{green}{\text{倍乘}}$、$\color{green}{\text{互换}}$、$\color{green}{\text{倍加}}$初等行(列)变换.
$\color{green}{\text{左行右列法则}}$:矩阵左乘以初等矩阵就等于对矩阵进行一次初等行变换,矩阵右乘初等矩阵,就等于对该矩阵进行一次初等列变换,该定理简化了用矩阵乘法定义运算的过程。参考文献
初等矩阵
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,
(本书有自己的记号规范)
定义
性质与公式
(1)初等矩阵的转置仍是初等矩阵.
(3) 可逆$\mathbf{A}$一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵$\mathbf{E}$
(4)对$n$阶矩阵$\mathbf{A}$进行初等行变换,相当于矩阵$\mathbf{A}$左乘相应的初等矩阵.同样,对$\mathbf{A}$进行初等列变换,相当于矩阵A右乘相应的初等矩阵.
用初等变换(初等矩阵)求逆矩阵
化成单位矩阵的方法
- 先往下加,再往上加
矩阵方程
$AX=B$
$XA=B$
$AXB=C$
矩阵的秩与等价矩阵
秩
定义
图片详情
初等变换不改变秩
图片详情
几个重要例子
有关秩的不等式
有关秩的不等式
遇到用不等式相关来解题的,化成对角阵,再来判断
等价矩阵
等价矩阵的定义
等价标准形揭示了经过有限次初等变换,秩为r的矩阵一定化为一个r阶单位阵被0围起来的样子
A、B同型等价矩阵 $\iff$ r(A)=r(B)