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高等数学

三重积分与曲线曲面积分

集高等数学与一身

三重积分

三重积分的概念、性质与对称性

概念

可以用密度与质量去理解

性质

性质1(求空间区域的体积)

性质2(可积函数必有界)

性质3(积分的线性性质)

性质4(积分的可加性)

性质5(积分的保号性)

性质6(三重积分的估值定理)

性质7(三重积分的中值定理)

$\bigstar$ 对称性

普通对称性

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轮换对称性

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三重积分的计算

基础方法

直角坐标系

先一后二

别称(先$z$后$xy$法，也叫投影穿线法)

适用场合：$\Omega$有下曲面$z=z_1(x,y)$、上曲面$z=z_2(x,y)$.无侧面或侧面为柱面

计算方法：

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}d\sigma \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

步骤口诀

后积先定限
限内画条线
先交写下限
后交写上限

先二后一

别称(先$xy$后$z$法，也叫定限截面法)

适用场合：$\Omega$是旋转体，其旋转曲面方程为$\Sigma:z=z(x,y)$

计算方法：

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_a^bdz \iint_{D_z}f(x,y,z)d\sigma$

步骤口诀

后积先定限
限内截个面

柱面坐标系

定积分+极坐标系下的二重积分(先二后一法)

在直角坐标系的先一后二法中，若$\iint{D{xy}}适用于极坐标系，$

$\text{则}\begin{cases} x = rcos\theta , & \cr y = rsin\theta , & \cr \end{cases} \text{便有}$ $\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \iiint_\Omega f(rcos \theta,r sin\theta,z)rdrd\theta dz$

球面坐标系

适用场合

被积函数中含$f(x^2+y^2+z^2)\text{、}f(x^2,y^2)$

计算方法

$\text{令}\begin{cases} x=rsin(\varphi)cos\theta, & \cr y=rsin(\varphi)sin\theta, & \cr z=rcos(\varphi), & \end{cases}$

计算公式

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \iiint_\Omega f(rsin(\varphi)cos\theta,rsin(\varphi)sin\theta,rcos(\varphi))r^2sin(\varphi)d\theta d \varphi dr$

技术方法

对称性

形心公式的逆用

第一型曲线积分

概念、性质与对称性

概念

定积分定义在“直线段”上，第一型曲线积分定义在“曲线段”上

性质

性质 8 (求空间曲线的长度)

性质9 (可积函数必有界)

性质10 (积分的线性性质)

性质11 (积分的可加性)

性质12(积分的保号性)

性质13(第一型曲线积分的估值定理)

性质14(第一型曲线积分的中值定理)

对称性

普通对称性

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轮换对称性

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计算

基础方法-化为定积分

空间形式

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 参数式

空间形式的计算公式

平面情形

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 显式

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 参数式

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 极坐标形式

平面情形的计算方法

技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式的逆用

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第一型曲面积分

跟二重积分对比

概念性质与对称性

概念

性质

对称性

普通对称性

轮换对称性

计算

基础方法-化为二重积分

技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式的逆用

应用

重积分与第一型线面积分的应用

一个体系:二重、三重、一线、一面

几何量

平面区域

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面积

空间区域

体积

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空间曲线

弧长

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空间曲面

面积

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重心(质心)与形心

密度是常数的时候，重心就是形心

形心公式的逆用

平面薄片

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空间物体

$\bigstar$ 喜欢用三重积分考重心

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空间曲线

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空间曲面

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转动惯量

从未考过，未来会考

平面薄片

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空间物体

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空间曲线

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空间曲面

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引力

平面薄片

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空间物体

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空间曲线

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空间曲面

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第二型曲线积分

既有长度也有方向
变力沿着曲线做功

对称性问题

第二型曲线积分的概念与性质

场的概念

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变力沿曲线做功

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第二型曲线积分的概念

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第二型曲线积分的性质

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平面第二型曲线积分的计算

基础方法-化为定积分

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格林公式法

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$
公式的使用一定保证D是封闭区域（L是封闭曲线）
左手在D内，为L的正向，记为$L^+$(反向要添负号)
$P\text{、}Q$有一阶连续偏导数
形心公式的逆用

第二型曲面积分

研究通量的概念
流出为正，流入为负
跟投影的轴锐角为正，钝角为负
海域找源头

外法向（题目告知）

第二型曲面积分的概念与性质

向量场的通量

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第二型曲面积分的概念

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$\iint_{\Sigma}P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy$

第二型曲面积分的性质

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性质1(积分的线性性质)

性质2(积分的方向性)

性质3(积分的可加性)

第二型曲面积分的计算

基本方法-化为二重积分

拆成三个积分，分别投影到相应的坐标面上，化为二重积分计算，然后再相加,以$R(x,y,z)dxdy$为例子

(1) 将$\Sigma$投影到某一平面(比如$xOy$面)上$\implies$投影区域为$D$(比如$D_{xy}$)

(2) 将$z=z(x,y)$或者$F(x,y,z)=0$代入$R(x,y,z)$

(3) 将$dxdy$写成“$\pm dxdy$”,其中$\Sigma$方向向上(即法向量与z轴夹角为锐角)时取“+”,否则取“—”.

这就把第二型曲面积分化为了二重积分,得到

$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\pm \iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$

同样需要指出的是，投影时$\Sigma$上的任何两点的投影点不能重合

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高斯公式法

${\textstyle\unicode{x2460}} \Sigma$封闭曲面(封闭的区域$\Omega$)
${\textstyle\unicode{x2461}} \Omega$取外侧
${\textstyle\unicode{x2462}} P,Q,R$具有一阶连续偏导数

$\unicode{x222F}_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint_\Omega (\dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z})dv$

需要掌握“补面法”和“挖去法”

例题1

例题2

空间第二型曲线积分的计算

斯托克斯公式

选平面最简单

$\unicode{x222E}_l Pdx+Qdy+Rdz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} cos\alpha & cos \beta & cos \gamma \cr \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \cr P & Q & R \end{vmatrix} dS$