基础30讲-高等数学-ch15-数一专题内容(应用题)

zy2022

高等数学

数一专题内容(应用题)

一元函数微分学

• 没什么难点基本上都是套公式
• 投入产出比很高

物理应用

导数的物理意义，速度和加速度

相关变化率

• $★$ 5分 或 10分，必考无疑

几何应用

一元函数积分学应用

物理应用

相关变化率

• $★$ ${\displaystyle \frac{dA}{dB}}={\displaystyle \frac{dA}{dC}}\cdot {\displaystyle \frac{dC}{dB}}$

几何应用

• 曲率公式：$k={\displaystyle \frac{|y\prime \prime |}{[1+(y\prime {)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}}$
• 曲率半径(曲率的倒数)：$R={\displaystyle \frac{1}{k}}={\displaystyle \frac{[1+(y\prime {)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{|y\prime \prime |}}(y\prime \prime \ne 0)$

一元函数积分学应用

物理应用

变力沿直线做功

抽水做功

$★$ 一直在猜会出这种题

水压力(静水压力)

• 2020
• 主要确定平板的宽度，
• $▸$(为什么只跟宽度有关系)

几何应用

“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式

$\overline{x}={\displaystyle \frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}}$

• $▸$ 推导过程，0到f(x)的积分为什么是f(x) :积分带进去就是了

$\overline{y}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}}$

平面曲线弧长

旋转曲面的表面积

平行截面为已知的立体体积

微分方程的物理应用

牛顿第二定律

• 表达式里可以不出现t
  • $a=v\cdot {\displaystyle \frac{dv}{dx}}$

变化率问题

• $★$ ${\displaystyle \frac{dA}{dB}}$
• $★$ $★$ $★$ 传染病模型

欧拉方程

• 跟常系数微分方程作比较

傅里叶级数

• 送分题
• 展开为三角函数
  • 对比展开为幂函数

$\text{②}$ 奇偶延拓

• 如果函数是偶函数，展开为余弦级数
• 如果函数是奇函数，展开为正弦级数
• 无奇偶性，可以作延拓(相当于补充定义)

$\text{③}$ 迪利克雷收敛性定理

• 连续函数才相等，