zy2022
高等数学
常微分方程
pp.191
可以看作是微积分的应用
$\bigstar$(反复多次看)
常微分方程的概念
用概念解题(5分)
- 例题1.13.11(考纲没有明确提，但是考研题里面有)
- 习题1.13.7(由微分方程,隐含了y任意阶可导)
- 洛必达能不能用，用了再说？。？
解题过程中，解完之后校验答案是否正确
微分方程
含有 $\color{green}{\text{未知函数}}$ 及其 $\color{green}{\text{导数}}$ (或者微分)的方程称为微分方程,一般写成
$$F(x,y,y\prime,\cdots,y^{(n)})=0\text{或}y^{(n)}=f(x,y,y\prime,\cdots,y^{n-1})$$
最高阶导数不能缺
偏微分方程见上一讲的笔记
常微分方程
未知函数是 $\color{green}{\text{一元函数}}$ 的微分方程称为常微分方程，如$y\prime\prime\prime-y\prime\prime+6y=0,ydx-(x+\sqrt{x^2+y^2})dy=0$
微分方程的阶
方程中未知函数 $\color{green}{\text{导数的最高阶数}}$ 称为微分方程的阶,如:$y\prime\prime\prime-y\prime\prime+6y=0$就是三阶微分方程
微分方程的解
将函数带入微分方程，使方程称为恒等式，则该函数称为微分方程的解
微分方程的解是一个函数
微分方程的通解
- $\bigstar$(考研要求)
- 微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数
初始条件与特解
- 确定通解中常数的条件就是初始条件
一阶微分方程的求解
按类型识别，对号入座
变量可分离型
能写成 $y\prime = f(x)g(y)$形式的方程，解法为
$$
\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y) \implies \int \dfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx
$$
$$
\text{例如} \dfrac{dy}{dx}=e^{x-y}=e^x\cdot e^{-y} \implies \int e^ydy = \int e^xdx= \begin{cases}
e^y=e^x+C\text{隐式解}, \cr
y=ln(e^x+C)(显式解)
\end{cases}
$$
解决除过去丢解的方法：不用解决，大纲只要求通解，不要求求全部解
可化为变量可分离型
(1) 形如$\dfrac{y}{dx}=f(ax+by+c)$的方程，其中常数a,b全都不为零，其解法为令$u=ax+by+c$,则$\dfrac{u}{dx}=a+b\dfrac{dy}{dx}$，代入原方程得$\dfrac{du}{dx}a+bf(u)$，见例1.13.2
(2) 齐次型微分方程
- $\dfrac{y}{x}=\varphi(\dfrac{y}{x})$
- $\dfrac{x}{y}=\varphi(\dfrac{x}{y})$
一阶线性微分方程
$y\prime + p(x)y=q(x)$通解为
$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C]$
求解出来$\int p(x)dx=ln|\varphi(x)|$,可不加绝对值
一阶线性微分方程的通解的例题
伯努利方程
$y’+p(x)y=q(x)y^n(n \neq 0,1)$的方程，其中$p(x),q(x)$为已知的连续函数，具体解法为
(1) 先变形为$y^{-n} \cdot y\prime + p(x)y^{1-n}=q(x)$
(2)令$z=y^(1-n),\text{得}\dfrac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx},\text{则}\dfrac{1}{1-n} \cdot \dfrac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$
伯努利方程的例题
二阶可降阶微分方程的求解
$y\prime\prime=f(x,y\prime)$型
不显含y
求解方法
例题
$y\prime\prime=f(y,y\prime)$型
不显含x
求解方法
例题
高阶线性微分方程的求解
概念
二阶变系数线性微分方程：不考
只考二阶常系数线性微分方程
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解的结构(以二阶为例)
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二阶常系数齐次线性微分方程的通解
$\bigstar$
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其中： $\alpha=-\dfrac{p}{2},\qquad \beta=\dfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
$\bigstar$(考研大纲有独特的方法)
$\color{green}{\text{一句话：}}$ 先解齐次，将特解带入
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例1.13.8
例1.13.9 $\color{red}{\text{}}$
n阶常系数线性微分方程的解
$\mho$(基础阶段不说强化班再提)
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