基础30讲-高等数学-ch12-二重积分

zy2022

高等数学

二重积分

• 分值分布
• 5分+11分大题

概念、性质与对称性

几何背景

性质

性质1(求区域面积)

性质2(可积函数必有界)

性质3(积分的线性性质)

性质4(积分的可加性)

性质5(积分的保号性)

性质6(二重积分的估值定理)

性质7(二重积分的中值定理)

$\bigstar$(5分) 对称性

普通对称性

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轮换对称性

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• $x$和$y$对调之后，区域D不变
• 积分值与字母无关(谁动了我的面包)
• 轮换是指字母对换，对称是指区域不变
• 直角坐标系才能用

计算

直角坐标系

后积先定限,限内画条线,先交写下限，后交写上限

(1) X型区域(上下型)(a图)

• 可以理解为限内的线在X轴上运动，所以叫X型区域,后积X

$$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy,\text{其中}D\text{为}X\text{型区域:}\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b$$

(2) Y型区域(左右型)(b图)

• 可以理解为限内的线在Y轴上运动，所以叫Y型区域,后积Y

$$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_c^ddx\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx,\text{其中}D\text{为}Y\text{型区域:}\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y),c\leq y\leq d$$

极坐标系

(1)极点O在区域D外部(a图)

$$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$$

(2)极点О在区域D边界上(b图)

$$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta\int_0^{r(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$$

(3)极点O在区域D内部(c图)

$$\displaystyle \iint_Df(x,y)d\sigma = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{r(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$$

在极坐标系下,几乎所有的计算都是先积$r$,后积$\theta$,所以一般不讨论积分次序的交换问题

极坐标系与直角坐标系的选择的一般原则

• ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 看被积函数的形式:$f(x^2+y^2),f(\dfrac{y}{x}),f(\dfrac{x}{y})$
• ${\textstyle\unicode{x2461}}$ 积分区域是否是圆(主要看 ${\textstyle\unicode{x2460}}$ )

极直互化

• 极坐标系和极坐标系的互换
• 上下限反解xy

$$\begin{cases} x=r cos\theta , & \cr y=r sin\theta , & \end{cases}$$

积分次序

• 先积分x还是y

用二重积分处理一元积分的问题

• 特色