zy2022

高等数学

(1) 曲线$y=y_1(x)\text{与}y=y_2(x)\text{及}x=a,x=b(a < b)$所围成的平面图形的面积

$S=\int_a^b |y_1(x)-y_2(x)|dx$

(2) 曲线$r=r_1(\theta)\text{与}r=r_2(\theta)\text{与两射线}\theta=\alpha\text{与}\theta=\beta(0 < \beta - \alpha \leq 2\pi)$所围成的曲边扇形的面积

$S = \dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta|r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)|d\theta$

(2)曲线$y=y(x)\text{与}x=a,x=b(a<b)\text{及}x$轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积

$V=\int_a^b\pi y^2(x)dx$

(2)曲线$y=y_1(x) \geq 0\text{与}y=y_2(x) \geq 0 \text{及}x=a,x=b(a < b)\text{所围成的平面图形绕}x$轴旋转一周所得到的旋转体的体积

$V=\pi \int_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|dx$

(3) 曲线$y=y(x)\text{与}x=a,x=b(0 \leq a < b)\text{及}x\text{轴围成的平面图形绕}y$轴旋转一周所得到的旋转体的体积

$V_y=2\pi \int_a^bx|y(x)|dx$

(4) 曲线$y=y_1(x)\text{与}y=y_2(x)\text{及}x=a,x=b(0\leq a \leq b)$所围成的图形绕$y$轴旋转一周所得到的旋转体的体积

$V=2\pi\int_a^bx|y_1(x)-y_2(x)|dx$

$\text{设}x\in[a,b],\text{函数}y(x)\text{在}[a,b]\text{上的平均值为}\bar{y}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^by(x)dx$