习题：高等数学-ch8-一元函数积分学的概念与计算

凑数

凑数

凑数

凑数

注

[1.8.6,1.8.9]都没做，都是证明题，之后重新回来再做先做计算题

本节例题49道，课后题21道，300题14道，一共84道题

尚有题未总结

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解

变限积分求导时x出现在被积函数中

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

上限无穷大的变限积分收敛不代表原函数趋于无穷的极限为0

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例题1.8.1

解析

• 积分中值定理
• $▸$(本来积分中值定理就是闭区间，他怎么变成开区间了，感觉步骤有问题，教材怎么写的)
• 凑导数的定义${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }F}{\mathrm{\Delta }x}}}$

思路：
联系 F(x) 和 F$\prime$(x)的方法：积分中值定理
积分可拆性凑出积分中值定理，用定义约掉$\mathrm{\Delta }x$

出现F$\prime \prime$(x)的方法，三次罗尔中值定理,两次拉格朗日中值定理，泰勒展开到二阶

题型: 证明题

错因: 超越理解范围

教训:

上课的时候应该把思路记下来

例题1.8.2

解析

• 导数介值定理

思路

肯定是反证法

导数的定义+洛必达

题型:

错因:

教训:

例1.8.3

解析

• $(uv)\prime =u\prime v+v\prime u$

• 原函数和定积分存在定理的使用

$▸$(明明求得出原函数啊，-ln|x|,一个分段函数，见1.8.5)

总结

题型	错因	教训	视频讲解
性质题			false

例1.8.4

解析

• 估值定理和积分的保号性

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.5

解析

• 变限积分的不可导点，对应f(x)的间断点
• F(0)=0

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	超越理解范围		false

例题1.8.6

证明连续奇函数的一切原函数都是偶函数;连续偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数

解析

• 注意：-x是怎么复合到变限积分函数中的
• 注意：还原法换的是积分元素
• 过程背下来

题型:

• 证明

错因:

教训:

(2020)子孙三代奇偶性

设奇函数$f(x)$在($-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$)有连续导数,则

${\int }_0^x[cosf(t)+f^{\prime }(t)]dt$ 是____函数

解析

题型:

错因:

• 算出来内部是偶函数，忘记还套了一层变限积分，性质还要变一次

教训:

例题1.8.7

解析

• 华罗庚：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休
• $▸$(？为什么积分上下限交换的话，互相为相反数)

题型:

错因:

教训:

例题1.8.8周期性

解析

• 2021预测题
• 如果原函数，积分函数都是以T为周期的函数，那么原函数在一个周期上的积分必然是0
• 若$f(x)\text{以T为周期}$且奇 $⟹{\int }_a^{x}f(t)dt\text{以T为周期}$ 推导(02&t=00:53:31.454)

题型:

• 证明

错因:

教训:

例题1.8.9

解析

• 保号性
• 结论很重要

题型:

错因:

教训:

例1.8.10

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	超越理解范围		false

例1.8.11

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	忘记加常数C，公式背错，要加绝对值		false

例1.8.12

解析

• 第二换元积分法
• 三角代换

$▸$(为什么不能用cost代换)

• 必须选一个有反函数（sin单调，有反函数($(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$)
• 且取值能覆盖其取值范围的

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			true

例1.8.13

解析

• 绝对值可以去掉的原因是$\sqrt{a^2+x^2}+x\text{永远}>0$
• 根据对数运算法则将a提出来

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	公式没记牢+小技巧		false

例1.8.14

解析

****

• 取一个取值范围内的函数
• $▸$(答案是不是有问题，倒数第2，3行)

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.15

解析

• 法一：恒等变形、凑微分法,
• 法二: 恒等变形、凑微分法,换元法，有理函数积分

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.16

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例题1.8.17

解析

• 分部积分法，用表格法，轻轻松松
• $\mho$(分部积分法的适用范围)

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	忘加常数C		true

例1.8.18

解析

• 算出来的和答案不一样

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.19

解析

• 法二分部积分表格不再适用，他在分部积分的时候还用了凑微分、
• 用持续用分部积分表格将卡在这步
  

  总结

  题型	错因	教训	视频讲解
  计算题	思路		false

例1.8.20

解析

总结：有理函数一般会直接把根号代换

• 一共五种方法:(基本积分公式，凑微分法，换元法,分部积分，有理函数积分)
• 第一部只有可能是换元和有理函数积分
• 换元法，试了倒代换和三角代换都不行
• 估计是有理函数积分，但是有理函数积分并不熟悉，不知道怎么操作

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路		false

例题1.8.21

解析

• 直接特殊值法解出来值
• 比较最高项系数

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	草稿打错

例1.8.22

解析

一看就是有理函数积分

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	配错系数		false

例题1.8.23

解析

• 夹逼失效
• 只能用定积分的定义

计算极限的题

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路

例题1.8.24

解析

• 分子分母不是齐次的一般用夹逼
• 凑定积分的定义轻轻松松

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	false		true

例1.8.25

解析

• 定积分通过奇偶性省去一半的功夫

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.26

解析

• 轻轻松松(根代换)

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	系数配错		false

例1.8.27

解析

$tanx=t$

• 别样的三角代换，tan代换-$co{s}^2$

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路		false

例1.8.28

解析

• 差最后一步根号代换

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例题1.8.29

解析

• 区间再现公式的证明

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路		true

例题1.8.30

解析

• 华里士公式的应用sin(0-$\pi$)的公式

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			true

例1.8.31

解析

• 这也太能凑了，

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路		false

例题1.8.32

解析

• 区间再现换元法
• 三角有理式的积分
• 还能将两项加起来

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路		true

例题1.8.33

解析

• 华里士公式的证明
• 只会考结论，不会考证明

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			true

例1.8.34

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.35

解析

总结

题型	错因	教训	视频讲解
			false

例1.8.36

解析

• 先配方，再代换

总结

题型	错因	教训	视频讲解
	思路		false

例题1.10.5

解析

• $\mathrm{♭}$ 重要题源

题型:

错因:

教训:

(2020)

解析

• 点火公式

题型:

错因:

教训: