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重要函数的泰勒展开

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zy2022

高等数学

重要函数的泰勒展开

p43

注意$x\to0$

$sin x = x - \dfrac{x^3}{3!}+o(x^3), \qquad \qquad arcsin x = x + \dfrac{x^3}{3!}+o(x^3),$

$tanx =x + \dfrac{x^3}{3}+o(x^3),\qquad \qquad arctan x = x - \dfrac{x^3}{3}+o(x^3),$

$ln(1+x) =x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3),$

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3), \qquad (1+x)^\alpha =1+\alpha x +\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$

$cosx =1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4),$

初等函数的幂级数展开式找不到图片(Image not found)
图片详情找不到图片(Image not found)

记忆方法(每一行都是一对)：

  • 去了 正切 分母都是幂阶乘,
  • 正弦正切你负我正真相称,
  • 余弦对数2把兄弟做(除了这两货，其他都没有2的系数)

规律：

  • sin，arcsin，tan，arctan，ln都是从1次开始
    • sin tan 系都是1，3
    • ln系是1，2，3
  • 自然指数，幂函数，余弦函数都是0次开始
    • 自然指数是0，1，2，3
    • 幂函数是0，1，2
  • 余弦函数是
    • 0，2，4

倒背如流，背系数(方法：在做题中背)