常用不等式

zy2022

高等数学

常用不等式

可以从图像和意义去理解，比如绝对值相当于距离,几何平均值和算数平均值可以画图

$$
\text{(1) 设a,b为实数，则} {\textstyle\unicode{x2460}} |a \pm b| \leq |a|+|b|; \quad {\textstyle\unicode{x2461}} ||a|-|b|| \leq |a-b|
$$

将 ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 式子推广为:

离散情况:设$a_1,a_2,\cdots,a_n$为实数，则

$$
|a_1\pm a_2 \pm \cdots \pm a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|
$$

连续情况：设$f(x)$在$ [ a,b ] (a < b)$上可积，则

$$
|\int_a^bf(x)dx| \leq \int_a^b|f(x)|dx
$$

$$
(2) {\textstyle\unicode{x2460}} \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0);\quad \text{(调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数)}
$$

$$
{\textstyle\unicode{x2461}} \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{abc}\leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}(a,b,c>0);
$$

$$
\text{(3) 设a > b > 0,则} \begin{cases}
\text{当}n>0时,a^n > b^n, & \cr
\text{当}n<0时,a^n < b^n, &
\end{cases}
$$

$$
\text{(4)若}0<a<x<b,0<c<y<d.\text{则} \dfrac{c}{b} < \dfrac{y}{x} < \dfrac{d}{a}
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$$
\text{(5)} sinx<x<tanx(0 <x<\dfrac{\pi}{2})
$$

$$
(6) sinx<x(x>0)
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$$
(7) arctanx \leq x \leq arcsinx(0 \leq x \leq 1)
$$

$$
(8)e^x \geq x+1(\forall x)
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$$
(9) x-1 \geq ln x(x>0)
$$

$$
(10) \dfrac{1}{x+1} <ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}(x>0)
$$

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