zy2022
高等数学
凑数
ch1.高等数学预备知识
例题1：
设$f(x)=x^2,f(\varphi(x))=-x^2+2x+3$,且$\varphi(x) \geq 0$,求$\varphi(x)$及其定义域与值域
- 解析
- 变量广义化
- 一致单调性
- 值域的解法
- 画图
- 配方
- 求导
例题2：
求函数$y=f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域
- 拓展
- $\int_{-1}^{1}[ln(x+\sqrt{x^2+1})+x^2]dx=$
- 奇函数前面直接等于0，所以只用积后面的分
- $\int_{-1}^{1}[ln(x+\sqrt{x^2+1})+x^2]dx=$
两个函数图像和都是奇函数要记住
$y=ln(x+\sqrt{x^2+1})$
- $sinh^{-1}(x)$
- 由于$x+|x|>0$,所以函数$- \infty\leq x \leq + \infty$处处有定义
- 奇函数推导（运用分子有理化公式$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$）
- $f(-x)=ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\dfrac{1}{ln(x+\sqrt{x^2+1})}=-ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(-x)$
- 单调性求导$(ln(x+\sqrt{x^2+1})’=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}})$(基本求导公式p60)(基本积分表p110)
$y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
- $sinh(x)$：双曲正弦
- f(x)-f(-x)直接就是奇函数
- 其实可以现场按照定义推
- 悬链线
为什么我用wolframe画出来的和书本上不一样
例题3
将下列各组函数$f(x)$与$\varphi(x)$复合，求复合函数$f[\varphi(x)]$
$$
f(x) = \begin{cases}
2-x \text{, }& x \leq 0 \
x+2 \text{, }& x > 0
\end{cases}
\qquad
\varphi(x) = \begin{cases}
x^2 \text{, }& x < 0 \
-x \text{, }& x \geq 0
\end{cases}
$$
$$
f(x) = \varphi(x) = \begin{cases}
x \text{, }& x \geq 0 \
\dfrac{1}{x} \text{, }& x < 0
\end{cases}
$$
步骤解析
- 先广义化
- 画图
- 直接写答案
$\blacktriangleright$ 我认为广义化之后直接列方程即可,虽然我之前也是画图，但是好像没有那么清晰，复杂的话，图都不好画
$\bigstar$ 练习：习题1.1.1
设
$$
f(x) = \begin{cases}
ln\sqrt{x} \text{, }& x \geq 1 \
2x-1 \text{, }& x < 1
\end{cases}
$$
求$f[f(x)]$
- 解题思路
- 画图：$ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}ln(x)$ $\spadesuit$(p20:对数运算法则)，$\spadesuit$(p13:伸缩变换)
- $ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}ln(x)$
- $ln(\dfrac{1}{x})=-ln(x)$
- $ln(1+\dfrac{1}{x})=ln(1+x)-ln(x)$(f(b)-f(a)拉格朗日中值定理)
- 画图：$ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}ln(x)$ $\spadesuit$(p20:对数运算法则)，$\spadesuit$(p13:伸缩变换)
证明函数$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}在(-\infty,+\infty)$内有界
解析
证明有界性的武器：不等式，极限，单调性
- 几何平均值小于算数平均值
- $|f(x)|<M$
- 用极限的存在性来证明有界性
- 没有极限就用不等式
- ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 当$x=0$时， $f(x)=0$(注意要讨论x=0的情况，因为除以0没有意义？)
- 当$x \neq 0$时，$f(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$
- $|f(x)|=\dfrac{1}{\dfrac{1}{|x|}+|x|}$
证明过程:
$\text{当}x \neq 0时，|f(x)| = \dfrac{|x|}{1+x^2} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{|x|}+|x|},$
$\text{由不等式} \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}(a,b>0),\text{有}\dfrac{1}{|x|}+|x| \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{|x|}|x|}=2,\text{即}|f(x)|\leq \dfrac{1}{2}$
$\text{当}x=0时,f(0)=0.\text{综上，函数}f(x)\text{在}(-\infty,+\infty)\text{内有界}$
题型: 证明题
错因: 知识结构不清
教训
- 记得讨论0点
- 证明有界性的武器：不等式，极限，单调性
奇偶性：$\sharp$ 神秘的数字0和1
- $\bigstar$(考研真题) 拉格朗日缺0（加减法）
- 缺1(乘除法)
- $f(x)>xf(1)$
- $\dfrac{f(x)}{x}>\dfrac{f(1)}{1}$
- 令$F(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
有界性的证明
- $|f(x)|<M$
- 用极限的存在性来证明有界性
- 没有极限就用不等式
- ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 当$x=0$时， $f(x)=0$
- 当$x \neq 0$时，$f(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$
- $|f(x)|=\dfrac{1}{\dfrac{1}{|x|}+|x|}$
- 用不等式证明单调性
- 命题:$x_{n+1}=sinx_n<x_n \implies{x_n}$
- $e^x \geq x+1$
ch2.数列极限
题数总结
| 类型 | 数量 |
|---|---|
| 例 | 7 |
| 习 | 6 |
例1.2.3
解析
- 收敛数列与
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.2.4
解析
- 加减乘除的极限等于极限的加减乘除
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| True |
例1.2.6
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.2.7
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
ch3.函数极限
题数总结
p47
| 类型 | 数量 |
|---|---|
| 例 | 24 |
| 习 | 9 |
例1.3.1
解析
- 用极限的唯一性解参数值
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| None | true |
($\bigstar$ 真题)例1.3.2
解析
- 求函数在那个区间上有界(用极限存在)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.3
解析
- 七种未定式中的0比0
- 用倒代换解决问题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.4
解析
- 七种未定式中的0比0
- 见根号差，用有理化
- 洛必达，等价无穷小的比
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.3.5
解析
- 七种未定式中的无穷比无穷
- 根式有理化
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.3.6
解析
- 使用负代换，保留同除自变量
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.7
注意这道题是$ln x \cdot ln (1-x)$
解析
- ln的等价无穷小替换
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.8
解析
- 等价无穷小替换，泰勒展开
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.9
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.10
解析
- 七种未定式中的无穷减无穷
- 中间用等价无穷小是不是太牵强附会了
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.11
解析
- 七种未定式中的无穷减无穷
- 倒代换
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.12
解析
- 无穷的0次方
- vu-1
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.13
解析
- 1的无穷次方
- n化1
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.14
解析
- 1的无穷次方
- 洛必达
- 泰勒炸开也是可以的
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.15
解析
- 分子分母同乘x
- 配一个极限为0
- 我取巧，直接让洛必达可洛来做
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.16
解析
- 泰勒展开
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.17
解析
- 已知极限反求参数
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.18
解析
- 已知极限反求参数
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.19
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.3.20
解析
- 连续与极限结合的题目
- 极限是直接看出来的
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.3.21
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.3.22
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.3.23
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
例1.3.24
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| nan |
ch8.一元函数积分学的概念与计算
注
[1.8.6,1.8.9]都没做，都是证明题，之后重新回来再做先做计算题
本节例题49道，课后题21道，300题14道，一共84道题
尚有题未总结
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
变限积分求导时x出现在被积函数中
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
上限无穷大的变限积分收敛不代表原函数趋于无穷的极限为0
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例题1.8.1
解析
- 积分中值定理
- $\blacktriangleright$(本来积分中值定理就是闭区间，他怎么变成开区间了，感觉步骤有问题，教材怎么写的)
- 凑导数的定义$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta F}{\Delta x}$
思路：
联系 F(x) 和 F$\prime$(x)的方法：积分中值定理
积分可拆性凑出积分中值定理，用定义约掉$\Delta x$
出现F$\prime \prime$(x)的方法，三次罗尔中值定理,两次拉格朗日中值定理，泰勒展开到二阶
题型: 证明题
错因: 超越理解范围
教训:
上课的时候应该把思路记下来
例题1.8.2
解析
- 导数介值定理
思路
肯定是反证法
导数的定义+洛必达
题型:
错因:
教训:
例1.8.3
解析
$(uv)\prime = u\prime v+v\prime u$
原函数和定积分存在定理的使用
$\blacktriangleright$(明明求得出原函数啊，-ln|x|,一个分段函数，见1.8.5)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 性质题 | false |
例1.8.4
解析
- 估值定理和积分的保号性
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.5
解析
- 变限积分的不可导点，对应f(x)的间断点
- F(0)=0
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 超越理解范围 | false |
例题1.8.6
证明连续奇函数的一切原函数都是偶函数;连续偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
解析
- 注意：-x是怎么复合到变限积分函数中的
- 注意：还原法换的是积分元素
- 过程背下来
题型:
- 证明
错因:
教训:
(2020)子孙三代奇偶性
设奇函数$f(x)$在($-\infty,+\infty$)有连续导数,则
$\int_0^x[cosf(t)+f’(t)]dt$ 是____函数
解析
题型:
错因:
- 算出来内部是偶函数，忘记还套了一层变限积分，性质还要变一次
教训:
例题1.8.7
解析
- 华罗庚：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休
- $\blacktriangleright$(？为什么积分上下限交换的话，互相为相反数)
题型:
错因:
教训:
例题1.8.8周期性
解析
- 2021预测题
- 如果原函数，积分函数都是以T为周期的函数，那么原函数在一个周期上的积分必然是0
- 若$f(x) \text{以T为周期}$且奇 $\implies \int_a^xf(t)dt \quad \text{以T为周期}$ 推导(02&t=00:53:31.454)
题型:
- 证明
错因:
教训:
例题1.8.9
解析
- 保号性
- 结论很重要
题型:
错因:
教训:
例1.8.10
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 超越理解范围 | false |
例1.8.11
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 忘记加常数C，公式背错，要加绝对值 | false |
例1.8.12
解析
- 第二换元积分法
- 三角代换
$\blacktriangleright$(为什么不能用cost代换)
- 必须选一个有反函数（sin单调，有反函数($(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$)
- 且取值能覆盖其取值范围的
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.8.13
解析
- 绝对值可以去掉的原因是$\sqrt{a^2+x^2}+x\text{永远}>0$
- 根据对数运算法则将a提出来
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 公式没记牢+小技巧 | false |
例1.8.14
解析
****
- 取一个取值范围内的函数
- $\blacktriangleright$(答案是不是有问题，倒数第2，3行)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.15
解析
- 法一：恒等变形、凑微分法,
- 法二: 恒等变形、凑微分法,换元法，有理函数积分
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.16
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例题1.8.17
解析
- 分部积分法，用表格法，轻轻松松
- $\mho$(分部积分法的适用范围)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 忘加常数C | true |
例1.8.18
解析
- 算出来的和答案不一样
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.19
解析
例1.8.20
解析
总结：有理函数一般会直接把根号代换
- 一共五种方法:(基本积分公式，凑微分法，换元法,分部积分，有理函数积分)
- 第一部只有可能是换元和有理函数积分
- 换元法，试了倒代换和三角代换都不行
- 估计是有理函数积分，但是有理函数积分并不熟悉，不知道怎么操作
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | false |
例题1.8.21
解析
- 直接特殊值法解出来值
- 比较最高项系数
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 草稿打错 |
例1.8.22
解析
一看就是有理函数积分
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 配错系数 | false |
例题1.8.23
解析
- 夹逼失效
- 只能用定积分的定义
计算极限的题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 |
例题1.8.24
解析
- 分子分母不是齐次的一般用夹逼
- 凑定积分的定义轻轻松松
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false | true |
例1.8.25
解析
- 定积分通过奇偶性省去一半的功夫
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.26
解析
- 轻轻松松(根代换)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 系数配错 | false |
例1.8.27
解析
$tanx =t$
- 别样的三角代换，tan代换-$cos^2$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | false |
例1.8.28
解析
- 差最后一步根号代换
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例题1.8.29
解析
- 区间再现公式的证明
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | true |
例题1.8.30
解析
- 华里士公式的应用sin(0-$\pi$)的公式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.8.31
解析
- 这也太能凑了，
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | false |
例题1.8.32
解析
- 区间再现换元法
- 三角有理式的积分
- 还能将两项加起来
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | true |
例题1.8.33
解析
- 华里士公式的证明
- 只会考结论，不会考证明
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.8.34
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.35
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例1.8.36
解析
- 先配方，再代换
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | false |
例题1.10.5
解析
- $\flat$ 重要题源
题型:
错因:
教训:
(2020)
解析
- 点火公式
题型:
错因:
教训:
ch9.一元函数积分学的几何应用
例题1.9.1
直角坐标系下的面积
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.9.2
解析
- $\bigstar$
- 参数方程
- 平摆线：车轱辘的车轮的一点的轨迹
- $\flat$ 困难的年份都是大题
- 第二个直接奇偶性，$cos^2x$直接点火公式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.9.3
- 极坐标系下的
- 新形线
- cos负屁股朝右
- cos正屁股朝左
- 外摆线
- 星形线
- 内摆线
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例1.9.8
解析
- 求平摆线的体积
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
(2019)
解析
- $\bigstar$(真题)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
ch10.积分等式与积分不等式
例1.10.1
解析
- 推广的中值定理
- 积分中值定理是其一个特例
- 柯西中值定理快速证
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例1.10.3
解析
- 夹逼放缩
- 为什么是增函数？
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.10.4
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.10.6
解析
- 用函数的单调性
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
习题1.10.3
解析
- 神秘的数字0和1，除过去比
- 0-x的平均值
- 积分中值定理，直接把积分变成原函数(儿子)
- $\bigstar$(题源)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.10.8
解析
- 用两次拉格朗日中值定理
- 算数平均值<平方平均值
- $\bigstar$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.10.10
解析
- $\bigstar$(题源) 积分法题源
- 分部积分的表格
- 反对幂指三知道具体函数才知道怎么求导，抽象函数看线索
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
ch11.多元函数微分学
例1.11.2
解析
- 无穷下乘有界为0
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.11.7
解析
- $\mho$(考研非常爱考)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习题1.11.8
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 |
|---|---|---|
例题1.11.3
解析
- 数学的习惯是表达成u,v但是考研的习惯一般是1,2
- 如果具有二阶连续偏导数，那么交换求偏导次序并不影响
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.11.10
解析
- 套公式
- 考验解方程组的能力
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习题1.11.7
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习题1.11.8
解析
- 本节的逆问题
- 注意加的不是常数C是$\varphi(y)$
- 小4分的题(必考题)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
ch12.二重积分
二重积分题目说明
| 位置 | 题数 |
|---|---|
| 例题 | 11 |
| 课后习题 | 7 |
| 300题 | 9 |
例题1.12.1
解析
- 保号性
- 幂函数的比较
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.12.2
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例题1.12.3
解析
- 普通对称性
- $\bigstar$(麻雀虽小五章俱全)
- 能拆则拆
- 直角坐标系上的积分
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 没有考虑被积函数的正负 | true |
例1.12.4
解析
思路很清晰，一定是分情况讨论
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 算错数 | false |
例题1.12.5
解析
- r跟R不一样
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 写错答案 | true |
例1.12.6
解析
- 极坐标系换成直角坐标系
- $\blacktriangleright$(题目出错了？) x\text{应该小于}cos \theta$,没错，导数刚好就是阴影部分
- 二重积分别样的凑微分法
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| false |
例题1.12.7
解析
- $\flat$
- 命题老师往往会帮倒忙，他写成dxdy可能要转换为rdr
- 用$\text{积分下限}1-x \implies x+y=1 \implies rcos\theta + rsin\theta=1$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.12.8
解析
- $\bigstar$
- 常见：有原函数但求不出初等函数形式的原函数
- $\int \dfrac{sinx}{x}dx,\int \dfrac{cosx}{x}dx,\int \dfrac{tan x}{x}dx,\int \dfrac{e^x}{x}dx,sin\dfrac{1}{x},cos\dfrac{1}{x}$
- $\int sin x^2 dx,\int cos x^2 dx,\int tan x^2 dx,$
- $\int e^{ax^2+bx+c}dx (\int e^{x^2} dx,\int e^{-x^2} dx,)$
- $\int \dfrac{dx}{lnx}dx$
- 椭圆函数
- 交换积分次序
- 注意还要配方
- 注意正负，最好让所有的元素都出现在表格中操作
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.12.9
解析
- $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$
- 化一元积分为二重积分，交换积分次序
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.12.10
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 思路 | false |
例1.12.11
解析
- $\bigstar$ 结果也很重要
- 广义的圆
- 高斯曲线的积分值为$\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
ch13.常微分方程
例1.13.1
解析
- 变量可分离型
- 写成$\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$
- 本来y不能为0，因为y被除到了分母上，所以c不能为0，但是y=0带进去是成立所以c为任意常数
- 丢失的解叫奇解
- 补奇解回来和通解组成全部解
- 考研数学只要求求通解
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.13.2
解析
- 可化为变量可分离型
- 正三角形的积分上下同乘，变成到倒三角的方便处理
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.13.3
解析
- 考研题的风格
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习题1.13.3
解析
- $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$
- 变成一阶线性微分方程
- $\mho$(分部积分的表格，谁在上面，谁在下面)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.13.7
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
ch14.无穷级数
例1.14.2
解析
- 根据p级数的概念迅速证明
- 放缩之后无界根据必要条件，必然发散
- 证明发散就放小，证明收敛就放大
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.3
解析
- 调和级数（导数的平均值为另外一个人的倒数）
- 级数对不等式的要求比较高
- $x>ln(1+x)$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.6
解析
- $\bigstar$(考研的味道)
- 用不等式解决问题
- 大的收敛小的必收敛
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.14.4
解析
- 达朗贝尔判别法
- ${(1+\dfrac{1}{n})^n}$是单调增加趋向e
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.5
解析
- 柯西判别法
- sinx-x和幂值函数的处理
- 相当于$\dfrac{1}{n}$次方，约掉一个
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.7
解析
- 莱布尼茨判别法
- 交错调和级数，收敛
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.8
解析
- $\bigstar$(非常经典的例子)
- 莱布尼茨判别法
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.10
解析
- 判别极限洛必达
- 判别单调性求导
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.14.11
解析
- $\bigstar$(考研风格)
- 积累
- 做题当中积累和学习(很像写代码，再写代码中学习和积累)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.14.13
解析
- 按照幂级数的三步骤去办，绝对不会出错
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.14
解析
- $\bigstar$(热门考点)
- 麻雀虽小五张俱全的题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.15
解析
- 经典的题目
- 需要转为定积分或者变上限积分没不然要确定常数C
- n在分母上，先导后积(视频的先导后积公式的推导也在这里)
- $S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^xS’(t)dt$
- $\blacktriangleright$(为什么只能限定|t|<1)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.16
解析
- n在分子上，先积后导
- 1减公比分之首项
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.17
解析
- $\bigstar$(奇数年的考题风格)
- 相当于$\dfrac{1}{1+t^2}$的原因要知道
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.14.18
解析
- 直接恒等变形可以解决
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
ch15.数一专题内容(应用题)
例1.15.1
解析
- 相关变化率的问题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例题1.15.2
解析
- 算y‘，y‘’，带公式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习题1.15.4
解析
- $\bigstar$(精挑细选)
- 对y积分
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习题1.15.5
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.15.6
解析
- 考研真题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.15.7
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
1.15.8
解析
- 带公式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
1.15.9
解析
- 星形线
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.15.11
解析
- 用牛顿定律的公式
- 用到了反对幂指三的表格
- 第二问的级数用公共知识很难求
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.15.14
解析
- 周期是2
- $\blacktriangleright$(这题目好突兀。。)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
ch17.多元函数积分学的基础知识
题目详情
例题9道，习题6道
例1.17.1
解析
一道题复习高中的向量运算
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}=0:\overrightarrow{a}\text{和}\overrightarrow{c}\text{叉乘的结果，与其形成的平面的法线方向垂直},\overrightarrow{c}\text{在这个平面上,所以结果为0}$
$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})$是一个公式，证明如下
向量的坐标运算
- 数量积($\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{k}=0$,$\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i}=1$)
- 数量积($\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k} =0$,$a\overrightarrow{i}\times b\overrightarrow{j}=ab \overrightarrow{k}$)
显然亦可用混合积的行列式推导得
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| 运算法则 | true |
例1.17.2
解析
- $\bigstar$ 空间曲面的切平面与法线
- 这道题对发现的方向没有限制，都是一个平面
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.3
解析
- 在哪个面，就消去哪个元
- 舍去不需要的部分(？这个步骤怎么想到的)
- 加上取值范围
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.4
解析
- 旋转曲面的题目
- 技巧：绕着哪个轴转，对应的字母不变
- 强化班讲这个图怎么画
- 注意平方的存在
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.5
解析
- sin0为0都不记得了
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.6
解析
- 方向导数的问题
- 方向导数首先是一个数
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.7
解析
- 复合求导都算错了
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.8
解析
- 散度问题
- 分别求偏导相加
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.17.9
解析
- 旋度
- $\blacktriangleright$(忘了行列式的计算公式)
- 三阶行列式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.3
解析
- $\bigstar$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.4
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.17
解析
- 过原点的平面
- 用锐角的公式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习1.18.7
解析
- 只能用钝角的公式
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
ch18.三重积分与曲线曲面积分
题数统计
| 类型 | 题数 |
|---|---|
| 例 | 17 |
| 习 | 7 |
例1.18.1
解析
- 三重积分的基本方法
- 先1后2法，投影穿线法
- 写的时候写上谁的上限和下限，看的比较清楚
为什么没有面积定理：算错了，其实不是常数，不然是有的
求导公式的逆用积分用错
计算能力不行
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.2
解析
- 普通对称性
- 关于y对称
- 先二后一法
- 因为z相当于常数提走了
- z不在二重积分里面，可以用二重积分的面积性质
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.3
解析
- 上一节的旋转
- 柱面坐标系
- 先用先二后一
$\mho$(为什么我的方法不对？？)7R4%7EO2PUI42Y.jpg)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.4
解析
- 柱面坐标系
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.5
解析
- 轮换对称性
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.6
解析
- 普通对称性，再写成参数方程
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.7
解析
- 形心公式的逆用
- 带入的技巧
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.8
解析
- 考研真题
- 普通对称性加轮换对称性
- $\blacktriangleright$(为什么不是x写成y和z的函数)
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.9
解析
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.10
解析
- $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$
- 对于对应投影部分的面积可以用上一讲的投影知识，投到哪个面就保留对应的字母
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.11
解析
- 形心坐标$\rho$约掉
- 定限截面法更快
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.13
解析
- 三种解法
- 第二型曲线积分
- 由对称性很容易得到结果是0
- 还可以用格林公式
格林公式的解法
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.14
解析
- 挖洞法下去回来了，抵消
- 积分与路径无关
- 椭圆的面积
- 永远取分母=一个常数
- $\pi ab$
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.15
解析
- 补面法，高斯公式
- “上侧”证明指定的正方向是上面
- 没有分母一阶偏导数一定连续
如果不用高斯公式怎么做
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.16
解析
挖洞法，高斯公式
09年的原题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
例1.18.17
解析
- 斯托克斯，z分量是正数
- 斯托克斯会有二型面积积分的问题
由斯托克斯有求一个平面的法向量即可，这时候直接求题目给的$x+y+z=0$的法向量
$$F=x+y+z \implies \overrightarrow{n}={F’_x,F’_y,F’_z}={1,1,1},F’_z\text{的正负需要额外考虑}$$
我居然是想用高中知识求法向量
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |
习1.18.17
解析
- 斯托克斯，z分量是负数
- 斯托克斯会有二型面积积分的问题
总结
| 题型 | 错因 | 教训 | 视频讲解 |
|---|---|---|---|
| true |