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30讲高等数学题目汇总

zy2022

高等数学

凑数

ch1.高等数学预备知识

例题1:

f(x)=x2,f(φ(x))=x2+2x+3,且φ(x)0,求φ(x)及其定义域与值域

  • 解析
    • 变量广义化
    • 一致单调性
  • 值域的解法
    • 画图
    • 配方
    • 求导
例题2:

求函数y=f(x)=ln(x+x2+1)的反函数f1(x)的表达式及其定义域

  • 拓展
    • 11[ln(x+x2+1)+x2]dx=
      • 奇函数前面直接等于0,所以只用积后面的分
两个函数图像和都是奇函数要记住
  • y=ln(x+x2+1)

    • sinh1(x)
    • 由于x+|x|>0,所以函数x+处处有定义
    • 奇函数推导(运用分子有理化公式ab=aba+b
      • f(x)=ln(x+x2+1)=1ln(x+x2+1)=ln(x+x2+1)=f(x)
    • 单调性求导(ln(x+x2+1)=1x2+1)(基本求导公式p60)(基本积分表p110)
  • y=exex2

    • sinh(x):双曲正弦
    • f(x)-f(-x)直接就是奇函数
      • 其实可以现场按照定义推
    • 悬链线


为什么我用wolframe画出来的和书本上不一样

例题3

将下列各组函数f(x)φ(x)复合,求复合函数f[φ(x)]

f(x)={2xx0 x+2x>0φ(x)={x2x<0 xx0

f(x)=φ(x)={xx0 1xx<0

步骤解析
  1. 先广义化
  2. 画图
  3. 直接写答案

我认为广义化之后直接列方程即可,虽然我之前也是画图,但是好像没有那么清晰,复杂的话,图都不好画

练习:习题1.1.1


f(x)={lnxx1 2x1x<1
f[f(x)]

  • 解题思路
    • 画图:lnx=12ln(x) (p20:对数运算法则),(p13:伸缩变换)
      • lnx=12ln(x)
      • ln(1x)=ln(x)
      • ln(1+1x)=ln(1+x)ln(x)(f(b)-f(a)拉格朗日中值定理)
证明函数f(x)=x1+x2(,+)内有界
解析

证明有界性的武器:不等式,极限,单调性

  • 几何平均值小于算数平均值
  • |f(x)|<M
  • 用极限的存在性来证明有界性
  • 没有极限就用不等式
    • x=0时, f(x)=0(注意要讨论x=0的情况,因为除以0没有意义?)
    • x0时,f(x)=11x+x
    • |f(x)|=11|x|+|x|

证明过程:

x0|f(x)|=|x|1+x2=11|x|+|x|,

由不等式a+b2ab(a,b>0),1|x|+|x|21|x||x|=2,|f(x)|12

x=0,f(0)=0.综上,函数f(x)(,+)内有界

题型: 证明题
错因: 知识结构不清
教训
  • 记得讨论0点
  • 证明有界性的武器:不等式,极限,单调性
奇偶性: 神秘的数字0和1
  • (考研真题) 拉格朗日缺0(加减法)
  • 缺1(乘除法)
    • f(x)>xf(1)
    • f(x)x>f(1)1
    • F(x)=f(x)x
有界性的证明
  • |f(x)|<M
  • 用极限的存在性来证明有界性
  • 没有极限就用不等式
    • x=0时, f(x)=0
    • x0时,f(x)=11x+x
    • |f(x)|=11|x|+|x|
  • 用不等式证明单调性
    • 命题:xn+1=sinxn<xnxn
  • exx+1

ch2.数列极限

题数总结
类型数量
7
6
例1.2.3
解析
  • 收敛数列与
总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.2.4
解析
  • 加减乘除的极限等于极限的加减乘除
总结
题型错因教训视频讲解
True
例1.2.6

解析
总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.2.7

解析
总结
题型错因教训视频讲解
nan

ch3.函数极限

题数总结

p47

类型数量
24
9
例1.3.1

解析

  • 用极限的唯一性解参数值
总结
题型错因教训视频讲解
Nonetrue
( 真题)例1.3.2

解析

  • 求函数在那个区间上有界(用极限存在)
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.3

解析

  • 七种未定式中的0比0
  • 用倒代换解决问题
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.4

解析

  • 七种未定式中的0比0
  • 见根号差,用有理化
  • 洛必达,等价无穷小的比
总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.3.5

解析

  • 七种未定式中的无穷比无穷
  • 根式有理化
总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.3.6

解析

  • 使用负代换,保留同除自变量
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.7

注意这道题是lnxln(1x)

解析

  • ln的等价无穷小替换
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.8

解析

  • 等价无穷小替换,泰勒展开
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.9

解析

总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.10

解析

  • 七种未定式中的无穷减无穷
  • 中间用等价无穷小是不是太牵强附会了
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.11

解析

  • 七种未定式中的无穷减无穷
  • 倒代换
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.12

解析

  • 无穷的0次方
  • vu-1
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.13

解析

  • 1的无穷次方
  • n化1
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.14

解析

  • 1的无穷次方
  • 洛必达
  • 泰勒炸开也是可以的
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.15

解析

  • 分子分母同乘x
  • 配一个极限为0
  • 我取巧,直接让洛必达可洛来做
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.16

解析

  • 泰勒展开
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.17

解析

  • 已知极限反求参数
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.18

解析

  • 已知极限反求参数
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.19

解析

总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.3.20

解析

  • 连续与极限结合的题目
  • 极限是直接看出来的
总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.3.21

解析

总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.3.22

解析
总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.3.23

解析

总结
题型错因教训视频讲解
nan
例1.3.24

解析

总结
题型错因教训视频讲解
nan

ch8.一元函数积分学的概念与计算

[1.8.6,1.8.9]都没做,都是证明题,之后重新回来再做先做计算题

本节例题49道,课后题21道,300题14道,一共84道题

尚有题未总结

解析
总结
题型错因教训视频讲解
变限积分求导时x出现在被积函数中

解析

总结
题型错因教训视频讲解
false
上限无穷大的变限积分收敛不代表原函数趋于无穷的极限为0
解析

总结
题型错因教训视频讲解
false
例题1.8.1

解析

  • 积分中值定理
  • (本来积分中值定理就是闭区间,他怎么变成开区间了,感觉步骤有问题,教材怎么写的)
  • 凑导数的定义limΔx0ΔFΔx

思路:
联系 F(x) 和 F(x)的方法:积分中值定理
积分可拆性凑出积分中值定理,用定义约掉Δx

出现F(x)的方法,三次罗尔中值定理,两次拉格朗日中值定理,泰勒展开到二阶

题型: 证明题
错因: 超越理解范围
教训:

上课的时候应该把思路记下来

例题1.8.2

解析


  • 导数介值定理

思路

肯定是反证法

导数的定义+洛必达

题型:
错因:
教训:
例1.8.3

解析

  • (uv)=uv+vu

  • 原函数和定积分存在定理的使用

(明明求得出原函数啊,-ln|x|,一个分段函数,见1.8.5)

总结
题型错因教训视频讲解
性质题false
例1.8.4

解析

  • 估值定理和积分的保号性
总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.5


解析

  • 变限积分的不可导点,对应f(x)的间断点
  • F(0)=0
总结
题型错因教训视频讲解
超越理解范围false
例题1.8.6

证明连续奇函数的一切原函数都是偶函数;连续偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数

解析
  • 注意:-x是怎么复合到变限积分函数中的
  • 注意:还原法换的是积分元素
  • 过程背下来
题型:
  • 证明
错因:
教训:
(2020)子孙三代奇偶性

设奇函数f(x)在(,+)有连续导数,则

0x[cosf(t)+f(t)]dt 是____函数

解析
题型:
错因:
  • 算出来内部是偶函数,忘记还套了一层变限积分,性质还要变一次
教训:
例题1.8.7
解析
  • 华罗庚:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休
  • (?为什么积分上下限交换的话,互相为相反数)
题型:
错因:
教训:
例题1.8.8周期性
解析
  • 2021预测题
  • 如果原函数,积分函数都是以T为周期的函数,那么原函数在一个周期上的积分必然是0
  • f(x)以T为周期且奇 axf(t)dt以T为周期 推导(02&t=00:53:31.454)
题型:
  • 证明
错因:
教训:
例题1.8.9
解析
  • 保号性
  • 结论很重要
题型:
错因:
教训:
例1.8.10

解析

总结
题型错因教训视频讲解
超越理解范围false
例1.8.11

解析

总结
题型错因教训视频讲解
忘记加常数C,公式背错,要加绝对值false
例1.8.12
解析
  • 第二换元积分法
  • 三角代换

(为什么不能用cost代换)

  • 必须选一个有反函数(sin单调,有反函数((π2,π2))
  • 且取值能覆盖其取值范围的
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.8.13

解析


  • 绝对值可以去掉的原因是a2+x2+x永远>0
  • 根据对数运算法则将a提出来
总结
题型错因教训视频讲解
公式没记牢+小技巧false
例1.8.14

解析

****

  • 取一个取值范围内的函数
  • (答案是不是有问题,倒数第2,3行)
总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.15

解析

  • 法一:恒等变形、凑微分法,
  • 法二: 恒等变形、凑微分法,换元法,有理函数积分
总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.16

解析


总结
题型错因教训视频讲解
false
例题1.8.17

解析
  • 分部积分法,用表格法,轻轻松松
  • (分部积分法的适用范围)
总结
题型错因教训视频讲解
忘加常数Ctrue
例1.8.18

解析
  • 算出来的和答案不一样
总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.19

解析


  • 法二分部积分表格不再适用,他在分部积分的时候还用了凑微分、
  • 用持续用分部积分表格将卡在这步
    总结
    题型错因教训视频讲解
    计算题思路false
例1.8.20

解析

总结:有理函数一般会直接把根号代换

  • 一共五种方法:(基本积分公式,凑微分法,换元法,分部积分,有理函数积分)
  • 第一部只有可能是换元和有理函数积分
  • 换元法,试了倒代换和三角代换都不行
  • 估计是有理函数积分,但是有理函数积分并不熟悉,不知道怎么操作
总结
题型错因教训视频讲解
思路false
例题1.8.21

解析


  • 直接特殊值法解出来值
  • 比较最高项系数
总结
题型错因教训视频讲解
草稿打错
例1.8.22

解析

一看就是有理函数积分

总结
题型错因教训视频讲解
配错系数false
例题1.8.23

解析

  • 夹逼失效
  • 只能用定积分的定义

计算极限的题

总结
题型错因教训视频讲解
思路
例题1.8.24

解析

  • 分子分母不是齐次的一般用夹逼
  • 凑定积分的定义轻轻松松
总结
题型错因教训视频讲解
falsetrue
例1.8.25

解析

  • 定积分通过奇偶性省去一半的功夫
总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.26

解析

  • 轻轻松松(根代换)
总结
题型错因教训视频讲解
系数配错false
例1.8.27

解析

tanx=t

  • 别样的三角代换,tan代换-cos2
总结
题型错因教训视频讲解
思路false
例1.8.28

解析

  • 差最后一步根号代换
总结
题型错因教训视频讲解
false
例题1.8.29

解析

  • 区间再现公式的证明
总结
题型错因教训视频讲解
思路true
例题1.8.30

解析

  • 华里士公式的应用sin(0-π)的公式
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.8.31

解析

  • 这也太能凑了,
总结
题型错因教训视频讲解
思路false
例题1.8.32

解析


  • 区间再现换元法
  • 三角有理式的积分
  • 还能将两项加起来
总结
题型错因教训视频讲解
思路true
例题1.8.33

解析

  • 华里士公式的证明
  • 只会考结论,不会考证明
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.8.34

解析

总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.35

解析

总结
题型错因教训视频讲解
false
例1.8.36

解析


  • 先配方,再代换
总结
题型错因教训视频讲解
思路false
例题1.10.5
解析
  • 重要题源
题型:
错因:
教训:
(2020)
解析

  • 点火公式
题型:
错因:
教训:

ch9.一元函数积分学的几何应用

例题1.9.1

直角坐标系下的面积

解析
总结
题型错因教训
例题1.9.2
解析
  • 参数方程
  • 平摆线:车轱辘的车轮的一点的轨迹
  • 困难的年份都是大题
  • 第二个直接奇偶性,cos2x直接点火公式
总结
题型错因教训
例题1.9.3
  • 极坐标系下的
  • 新形线
    • cos负屁股朝右
    • cos正屁股朝左
    • 外摆线
  • 星形线
    • 内摆线
解析
总结
题型错因教训
例1.9.8
解析
  • 求平摆线的体积
总结
题型错因教训
(2019)

解析
  • (真题)
总结
题型错因教训

ch10.积分等式与积分不等式

例1.10.1
解析
  • 推广的中值定理
  • 积分中值定理是其一个特例
  • 柯西中值定理快速证
总结
题型错因教训
例1.10.3
解析
  • 夹逼放缩
  • 为什么是增函数?
总结
题型错因教训
例题1.10.4
解析
总结
题型错因教训
例题1.10.6
解析
  • 用函数的单调性
总结
题型错因教训
习题1.10.3
解析
  • 神秘的数字0和1,除过去比
  • 0-x的平均值
  • 积分中值定理,直接把积分变成原函数(儿子)
  • (题源)
总结
题型错因教训
例题1.10.8
解析
  • 用两次拉格朗日中值定理
  • 算数平均值<平方平均值
总结
题型错因教训
例题1.10.10
解析
  • (题源) 积分法题源
  • 分部积分的表格
  • 反对幂指三知道具体函数才知道怎么求导,抽象函数看线索
总结
题型错因教训

ch11.多元函数微分学

例1.11.2
解析
  • 无穷下乘有界为0
总结
题型错因教训
例题1.11.7
解析
  • (考研非常爱考)
总结
题型错因教训视频讲解
true
习题1.11.8
解析
总结
题型错因教训
例题1.11.3
解析
  • 数学的习惯是表达成u,v但是考研的习惯一般是1,2
  • 如果具有二阶连续偏导数,那么交换求偏导次序并不影响
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.11.10
解析
  • 套公式
  • 考验解方程组的能力
总结
题型错因教训视频讲解
true
习题1.11.7
解析
总结
题型错因教训视频讲解
true
习题1.11.8
解析
  • 本节的逆问题
  • 注意加的不是常数C是φ(y)
  • 小4分的题(必考题)
总结
题型错因教训视频讲解
true

ch12.二重积分

二重积分题目说明
位置题数
例题11
课后习题7
300题9
例题1.12.1

解析

  • 保号性
  • 幂函数的比较
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.12.2

解析

总结
题型错因教训视频讲解
false
例题1.12.3

解析

  • 普通对称性
  • (麻雀虽小五章俱全)
  • 能拆则拆
  • 直角坐标系上的积分
总结
题型错因教训视频讲解
没有考虑被积函数的正负true
例1.12.4

解析

思路很清晰,一定是分情况讨论

总结
题型错因教训视频讲解
算错数false
例题1.12.5

解析

  • r跟R不一样
总结
题型错因教训视频讲解
写错答案true
例1.12.6

解析


  • 极坐标系换成直角坐标系
  • (题目出错了?) x\text{应该小于}cos \theta$,没错,导数刚好就是阴影部分
  • 二重积分别样的凑微分法
总结
题型错因教训视频讲解
false
例题1.12.7

解析

  • 命题老师往往会帮倒忙,他写成dxdy可能要转换为rdr
  • 积分下限1xx+y=1rcosθ+rsinθ=1
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.12.8

解析
  • 常见:有原函数但求不出初等函数形式的原函数
    • sinxxdx,cosxxdx,tanxxdx,exxdx,sin1x,cos1x
    • sinx2dx,cosx2dx,tanx2dx,
    • eax2+bx+cdx(ex2dx,ex2dx,)
    • dxlnxdx
    • 椭圆函数
  • 交换积分次序
  • 注意还要配方
  • 注意正负,最好让所有的元素都出现在表格中操作
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.12.9

解析

  • 化一元积分为二重积分,交换积分次序
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.12.10

解析
总结
题型错因教训视频讲解
思路false
例1.12.11

解析

  • 结果也很重要
  • 广义的圆
  • 高斯曲线的积分值为π2

总结
题型错因教训视频讲解
true

ch13.常微分方程

例1.13.1
解析
  • 变量可分离型
  • 写成dydx=f(x)g(y)
  • 本来y不能为0,因为y被除到了分母上,所以c不能为0,但是y=0带进去是成立所以c为任意常数
    • 丢失的解叫奇解
    • 奇解回来和通解组成全部解
    • 考研数学只要求求通解
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.13.2
解析
  • 可化为变量可分离型
  • 正三角形的积分上下同乘,变成到倒三角的方便处理
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.13.3
解析
  • 考研题的风格
总结
题型错因教训视频讲解
true
习题1.13.3
解析
  • 变成一阶线性微分方程
  • (分部积分的表格,谁在上面,谁在下面)
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.13.7
解析
总结
题型错因教训视频讲解
true

ch14.无穷级数

例1.14.2
解析
  • 根据p级数的概念迅速证明
  • 放缩之后无界根据必要条件,必然发散
  • 证明发散就放小,证明收敛就放大
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.3
解析
  • 调和级数(导数的平均值为另外一个人的倒数)
  • 级数对不等式的要求比较高
  • x>ln(1+x)
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.6
解析
  • (考研的味道)
  • 用不等式解决问题
  • 大的收敛小的必收敛
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.14.4
解析
  • 达朗贝尔判别法
  • (1+1n)n是单调增加趋向e
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.5
解析
  • 柯西判别法
  • sinx-x和幂值函数的处理
  • 相当于1n次方,约掉一个
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.7
解析
  • 莱布尼茨判别法
  • 交错调和级数,收敛
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.8
解析
  • (非常经典的例子)
  • 莱布尼茨判别法
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.10
解析
  • 判别极限洛必达
  • 判别单调性求导
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.14.11
解析
  • (考研风格)
  • 积累
  • 做题当中积累和学习(很像写代码,再写代码中学习和积累)
总结
题型错因教训视频讲解
true
例题1.14.13
解析
  • 按照幂级数的三步骤去办,绝对不会出错
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.14
解析
  • (热门考点)
  • 麻雀虽小五张俱全的题
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.15
解析
  • 经典的题目
  • 需要转为定积分或者变上限积分没不然要确定常数C
  • n在分母上,先导后积(视频的先导后积公式的推导也在这里)
    • S(x)=S(x0)+x0xS(t)dt
  • (为什么只能限定|t|<1)
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.16
解析
  • n在分子上,先积后导
  • 1减公比分之首项
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.17
解析
  • (奇数年的考题风格)
  • 相当于11+t2的原因要知道
总结
题型错因教训视频讲解
true
例1.14.18
解析
  • 直接恒等变形可以解决
总结
题型错因教训视频讲解
true

ch15.数一专题内容(应用题)

例1.15.1
解析
  • 相关变化率的问题
总结
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例题1.15.2
解析
  • 算y‘,y‘’,带公式
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习题1.15.4
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  • (精挑细选)
  • 对y积分
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习题1.15.5
解析
总结
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例1.15.6
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  • 考研真题
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例1.15.7
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1.15.8
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  • 带公式
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1.15.9
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  • 星形线
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例1.15.11
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  • 用牛顿定律的公式
  • 用到了反对幂指三的表格
  • 第二问的级数用公共知识很难求
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例1.15.14
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  • 周期是2
  • (这题目好突兀。。)
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ch17.多元函数积分学的基础知识

题目详情

例题9道,习题6道

例1.17.1

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一道题复习高中的向量运算

  • a×cc=0:ac叉乘的结果,与其形成的平面的法线方向垂直,c在这个平面上,所以结果为0

  • (a×bc)=(b×ca)是一个公式,证明如下

  • 向量的坐标运算

    • 数量积(ij=ik=0,ii=1)
    • 数量积(i×i=j×j=k×k=0,ai×bj=abk)
  • 显然亦可用混合积的行列式推导得

总结
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运算法则true
例1.17.2
解析
  • 空间曲面的切平面与法线
  • 这道题对发现的方向没有限制,都是一个平面
总结
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例1.17.3

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  • 在哪个面,就消去哪个元
  • 舍去不需要的部分(?这个步骤怎么想到的)
  • 加上取值范围
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例1.17.4

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  • 旋转曲面的题目
  • 技巧:绕着哪个轴转,对应的字母不变
  • 强化班讲这个图怎么画
  • 注意平方的存在
总结
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例1.17.5

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  • sin0为0都不记得了
总结
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例1.17.6

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  • 方向导数的问题
  • 方向导数首先是一个数
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例1.17.7

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  • 复合求导都算错了
总结
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例1.17.8

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  • 散度问题
  • 分别求偏导相加
总结
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例1.17.9

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  • 旋度
  • (忘了行列式的计算公式)
  • 三阶行列式
总结
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例1.18.3

解析
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例1.18.4
解析
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例1.18.17
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  • 过原点的平面
  • 用锐角的公式
总结
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习1.18.7
解析
  • 只能用钝角的公式
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ch18.三重积分与曲线曲面积分

题数统计
类型题数
17
7
例1.18.1

解析
  • 三重积分的基本方法
  • 先1后2法,投影穿线法
  • 写的时候写上谁的上限和下限,看的比较清楚

为什么没有面积定理:算错了,其实不是常数,不然是有的

求导公式的逆用积分用错

计算能力不行

总结
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例1.18.2

解析

  • 普通对称性
  • 关于y对称
  • 先二后一法
  • 因为z相当于常数提走了
  • z不在二重积分里面,可以用二重积分的面积性质
总结
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例1.18.3

解析

  • 上一节的旋转
  • 柱面坐标系
  • 先用先二后一

(为什么我的方法不对??)

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例1.18.4

解析

  • 柱面坐标系
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例1.18.5

解析

  • 轮换对称性
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例1.18.6
解析
  • 普通对称性,再写成参数方程
总结
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例1.18.7
解析
  • 形心公式的逆用
  • 带入的技巧
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例1.18.8
解析
  • 考研真题
  • 普通对称性加轮换对称性
  • (为什么不是x写成y和z的函数)
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例1.18.9
解析
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例1.18.10
解析
  • 对于对应投影部分的面积可以用上一讲的投影知识,投到哪个面就保留对应的字母
总结
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例1.18.11
解析
  • 形心坐标ρ约掉
  • 定限截面法更快
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例1.18.13
解析
  • 三种解法
  • 第二型曲线积分
  • 由对称性很容易得到结果是0
  • 还可以用格林公式

格林公式的解法

总结
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例1.18.14

解析

  • 挖洞法下去回来了,抵消
  • 积分与路径无关
  • 椭圆的面积
  • 永远取分母=一个常数
  • πab
总结
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例1.18.15

解析


  • 补面法,高斯公式
  • “上侧”证明指定的正方向是上面
  • 没有分母一阶偏导数一定连续

如果不用高斯公式怎么做

总结
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例1.18.16

解析

  • 挖洞法,高斯公式

  • 09年的原题

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例1.18.17

解析


  • 斯托克斯,z分量是正数
  • 斯托克斯会有二型面积积分的问题

由斯托克斯有求一个平面的法向量即可,这时候直接求题目给的x+y+z=0的法向量
F=x+y+zn=Fx,Fy,Fz=1,1,1,Fz的正负需要额外考虑

我居然是想用高中知识求法向量

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习1.18.17
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  • 斯托克斯,z分量是负数
  • 斯托克斯会有二型面积积分的问题
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