高等数学-ch7-零点问题与微分不等式

zy2022

高等数学

高等数学-ch7 零点问题与微分不等式

零点问题与微分不等式

• 零点问题也叫方程的根的问题

$\sharp$ 讲课风格：概念-练习-总结（升华）

$\sharp$ 做考卷高级境界：评价考题的好坏

• 怎么出的
• 还能怎么出

零点问题

• 有难度的是含参数的问题
  • $\dagger$(1.7.4) 和 $\dagger$(1.7.6)
    • 导数中不含参，在结果中讨论参数(曲线随着参数上下移动)
  • $\dagger$(1.7.7)
    • 导数中含参，过程中讨论参数，结果中不需要讨论

零点定理(证存在性)

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<b$,则$f(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根

• $[\text{注}]$推广的罗尔定理：若$f(x)$在$(a,b)$内连续，$\displaystyle \lim{x \to a^+}f(x)=\alpha$,$\displaystyle \lim{x \to b^-}f(x)=\beta$，且$\alpha \cdot \beta < 0$,则$f(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根，这里$a,b,\alpha,\beta$可以是有限数，也可以是无穷大

单调性(证唯一性)

若$f(x)$在$(a,b)$内单调，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至多有一个根，这里$a,b$可以是有限数，也可以是无穷大

• 单调性的判断$f’(x)$存在且$\neq$ 0

罗尔原话

若$f^{n}(x)=0$至多有$k$个根，则$f(x)=0$至多有$k+n$个根

• 生活语言中的有两个是数学语言的有且仅有两个，数学语言的有两个是指至少有两个
• 此定理一般出选择题
• $\dagger$(1.7.2)

实系数奇次方程至少有一个根

$\dagger$(1.7.3)

微分不等式

$\dagger$(1.7.8)

• 主流：证明函数的单调性，然后比较大小

$\dagger$(1.7.9)

• 用了凹凸性

$\dagger$(1.7.10)

• $f’(x)=0,f^{\prime \prime}>0 \implies \text{极小值点}$ $\mho$(这个之前讲过，但是去查笔记没有查到)

$\dagger$(1.7.13)

$\bigstar$(结论特别重要) $\dagger$(1.7.14)

用函数性态证明不等式

性态指(单调性，凹凸性，最值)

若有$f’(x) \geq 0,a<x<b$, 则有$f(a) \leq f(x) \leq f(b)$

若有 $f^{\prime\prime}(x) \geq 0,a<x<b$，则有$f^{\prime}(a) \leq f’(x) \leq f’(b)$

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 当$f’(a)>0$时，$f’(x)>0 \implies f(x)$单调增加

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 当$f’(b) <0$时,$f’(x) < 0 \implies f(x)$单调减少

设$f(x)$在$I$内连续，且有唯一的极值点$x_0$,则

$$\begin{cases} \text{当}x_0 \text{为极大值时} f(x_0) \geq f(x) \cr \text{当}x_0 \text{为极大值时} f(x_0)\geq f(x)& \end{cases} \forall x \in I$$

若有$f^{\prime\prime}(x)>0,a<x<b,f(a)=f(b)=0$,则有$f(x)<0$

$\blacktriangleright$(？去查了ch5的笔记没有看到二阶导数与凹凸性的关系，确实是有讲过，但是没有记下来) 二阶导数有凹凸性

用常数变化量证明不等式

如果欲证的不等式中都是常数，则可以将其中一个或者几个常数变量化，再利用上面所述的导数工具去证明

用中值定理证明不等式

主要用拉格朗日中值定理或者泰勒公式