zy2022
高等数学
高等数学-ch6.十大定理及其使用
pp.92
十大定理及其使用
- 定理1-4为函数定理
- 定理5-9为导数定理
- 定理10为积分定理
- 对比着看
(1.6.1) 离散的平均值定理:平均值定理 (1.6.2) 连续的平均值定理:积分中值定理
定理1:有界与最值定理
函数一定在最大值和最小值之间
定理2:介值定理
当
如果一个数在最大值和最小值之间,位于 处的点可以取到这个值
- 信号:看到区间给的是闭区间
定理3:平均值定理
当
位于 处的点为所有数的平均值
- 证明
- 连续型和离散型两种考法
- 看到函数值加加加,就想到除以其个数
- p93 习题1.6.2
定理4:零点定理
当
函数出现正负变化,位于 处的点,能取到0
- 由介值定理推出来
(可能会考证明题) 定理5:费马定理
( ) 可导+极值(区间内部的最值)- 一定要快,不要拖泥带水
( )证明- 脱帽法值严格的不等
- 戴帽法是非严格的不等
( ) (1.6.8)达布定理(也叫导数介值定理)- ch5讲过
- 端点处无法用费马定理
- 费马定理的应用:当一个人跑到最远处时,他的速度为零;当一个人跑的最快的时候他的加速度为0
导数零点定理
(p58:书页标签) 前面讲过的知识 保号- 单调函数必有反函数
设
定理6:罗尔定理
有两个根 至少有一个根- 抓住两个问题:
找端点值相同, 找谁( )的端点值相同 (p89:如何构造辅助函数)- 逆用乘积求导公式
(1.6.4)
- 逆用乘积求导公式
费马定理关键是找极值,罗尔定理找端点值相同,都能推出
罗尔vs拉格朗日:罗尔证明导数为0,拉格朗日得到导数为一个数,拉格朗日可以推罗尔:斜线变直
zy觉得很显然?没怎么看懂
(标准题)第二问遇到了困难,第一问是锦囊
(把罗尔定理用到了极致)- 可以直接用积分中值定理证明(必须用注里面的方法,因为原定理是闭区间)
证明题见到积分的思路
定理7:拉格朗日中值定理
- 几何意义:割线与切线平行
- 作用上:
- 常用的:
- 见到
想到拉格朗日 - 联系f与
, 立刻想到拉格朗日
- 用一次拉格朗日是小题
- 此题用两次是大题
- 不同的两个数要用
将区间切分
定理8:柯西中值定理
两次拉格朗日相除证柯西是错误的- 不知道两个
是否相等
- 不知道两个
取 拉格朗日是柯西的特例- 柯
拉 罗尔
- 柯
怎么考- 一个抽象(
),一个具体( ) (1.6.12)
- 一个抽象(
一个数不为零往往是在分母上
证明
(热点,极为重要) 定理9:泰勒公式
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
设
其中
- 最高导数是几就念几阶
是麦克劳林展开 (p87:注2几个重要函数的麦克劳林展开) (p73:4) 用二阶配亚诺余项的麦克劳林展开证明
- 在一个区间处的
带配亚诺余项的n阶泰勒公式
设
- 在一个点处的,局部的,极限的计算题
定理10:积分中值定理
设
(p143:注3)
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