高等数学-ch6.中值定理

zy2022

高等数学

高等数学-ch6.十大定理及其使用

pp.92

十大定理及其使用

• 定理1-4为函数定理
• 定理5-9为导数定理
• 定理10为积分定理
• 对比着看
  • $†$(1.6.1) 离散的平均值定理：平均值定理
  • $†$(1.6.2) 连续的平均值定理：积分中值定理

$\mathrm{♯}$ 讲课风格：概念-练习-总结（升华）

定理1：有界与最值定理

$m\le f(x)\le M$,其中$m$,$M$分别为$f(x)$在$[a,b]$上的最小值与最大值

$\text{意义：}$ 函数一定在最大值和最小值之间

定理2：介值定理

当$m\le \mu \le M$时，存在$\xi \in [a,b]$,使得$f(\xi )=\mu$

---

$\text{意义：}$ 如果一个数在最大值和最小值之间，位于 $\xi$ 处的点可以取到这个值

• 信号：看到区间给的是闭区间

定理3：平均值定理

当$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\xi$,使$f(\xi )={\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}}$

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$\text{意义：}$ 位于 $\xi$ 处的点为所有数的平均值

• 证明
• 连续型和离散型两种考法
• 看到函数值加加加，就想到除以其个数
  • p93 习题1.6.2

$★$(真题，12年) $†$(1.6.7)

定理4：零点定理

当$f(a)\cdot f(b)<0$时，存在$\xi \in (a,b)$,使得$f(\xi )=0$

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$\text{意义：}$ 函数出现正负变化，位于 $\xi$ 处的点，能取到0

• 由介值定理推出来

$★$(可能会考证明题) 定理5：费马定理

$$\text{设}f(x)\text{满足在}{x}_0\text{处}\{\begin{array}{l}\text{①}\text{可导},\\ \text{②}\text{取极值},\end{array}\text{则}{f}^{\prime }(x)=0$$

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• $★$($\text{①}$) 可导+极值(区间内部的最值) $⟹$ $f^{\prime }(x_0)=0$
  • 一定要快，不要拖泥带水
• $★$($\text{②}$)证明
  • 脱帽法值严格的不等
  • 戴帽法是非严格的不等
• $★$($\text{③}$) $†$(1.6.8)达布定理(也叫导数介值定理)
• ch5讲过
• 端点处无法用费马定理
• 费马定理的应用：当一个人跑到最远处时，他的速度为零;当一个人跑的最快的时候他的加速度为0

$\mathrm{♯}$ 费马大定理 $x^n+y^n=z^n$大于2没有正整数解，经过300+年威尔斯证出来，为了证明这个创立了7门独立的学科

$\mathrm{♯}$ 值得一看的书:《费马大定理》

$★$ 导数零点定理

$★$(特性)) 只要找到导数异号的两个点，中间一定有导数为0的点

• $\mathrm{♠}$(p58:书页标签) 前面讲过的知识 $f^{\prime }(x)\ne 0⟹f^{\prime }(x)$保号
  • 单调函数必有反函数

$\mathrm{♠}$(p90:1.6.8)

设$f(x)$在$[a,b]$上可导，证明当$f’+(a)\cdot f’-(b)<0$\mathrm{时}，\mathrm{存}\mathrm{在}$\xi\in(a,b)$，\mathrm{使}\mathrm{得}$$f^{\prime }(\xi )=0$$

$\mathrm{♣}$ 导数的定义

$\mho$(极限保号，脱帽戴帽法) $▸$(脱帽戴帽法的前提函数连续？)

定理6：罗尔定理

$$\text{设}f(x)\text{满足}\{\begin{array}{l}\text{①}\text{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\\ \text{②}\text{在}(a,b)\text{内可导，则存在}\xi \in (a,b),\text{使得}{f}^{\prime }(\xi )=0\\ \text{③}f(a)=f(b),\end{array}$$

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• $f(x)=0$有两个根$⟹$ $f^{\prime }(x)$至少有一个根
• 抓住两个问题：$\text{①}$找端点值相同，$\text{②}$找谁($F(x)$)的端点值相同
  • $\mathrm{♠}$(p89:如何构造辅助函数)
    • 逆用乘积求导公式
      • $†$(1.6.4) $f(x)f^{\prime }(x)⟹F(x)=f^2(x)$
      • $[f^{\prime }(x){]}^2⟹F(x)=f(x)f^{″}(x)$
      • $[f^{\prime }(x)+f(x){\phi }^{\prime }(x)]e^{\phi (x)}⟹F(x)=f(x)e^{\phi (x)}$

费马定理关键是找极值，罗尔定理找端点值相同，都能推出$f^{\prime }(\xi )=0$

罗尔vs拉格朗日：罗尔证明导数为0，拉格朗日得到导数为一个数，拉格朗日可以推罗尔：斜线变直

zy觉得很显然？没怎么看懂
$†$(1.6.5) $f^{\prime }(\xi )+df(\xi )=0$

$†$(1.6.6) $f^{\prime }(\xi )-\lambda [f(\xi )-\xi ]=1$

• $★$(标准题)第二问遇到了困难，第一问是锦囊

$†$(1.6.7) 两次罗尔定理

• $★$(把罗尔定理用到了极致)
• 
• 可以直接用积分中值定理证明(必须用注里面的方法，因为原定理是闭区间)

证明题见到积分的思路
$$\text{证明题，见到}{\int }_a^{b}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}\text{①}\text{积分中值定理}f(\xi )(b-a)& \\ \text{②}\text{令}F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt& \end{array}$$

$\mathrm{♯}$ $▸$(什么是解题技巧，什么是基本东西) 不能光讲解题技巧忽略了基本的东西，(考题第一题，证明费马定理完了)

$†$(习题1.6.3)$f^{\prime }(\xi )=(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})f(\xi )$

定理7：拉格朗日中值定理

$$\text{设}f(x)\text{满足}\{\begin{array}{l}\text{①}\text{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\\ \text{②}\text{在}(a,b)\text{内可导}\end{array}\text{使得}$$
$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$
$$\text{或者写成}$$
$$f^{\prime }(\xi )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

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• 几何意义：割线与切线平行
• 作用上：$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$
• 常用的:$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(\xi )(x-x_0)$
• 见到$f-f$想到拉格朗日
  • $e^x-1=e^x-e^0=e^{\xi }\cdot x$
• 联系f与$f^{\prime }$, 立刻想到拉格朗日

$†$(1.6.9)

$†$(1.6.11)

• 用一次拉格朗日是小题
• 此题用两次是大题
• 不同的两个数要用$\tau$将区间切分

$\mathrm{♭}$(思路预测)
$$\{\begin{array}{l}\text{①}\text{方向：}\text{ 思路(考研)(smart 巧)}\{\begin{array}{l}\cancel{\text{易}}\text{只在一个点上刷题没有意义}\\ \cancel{\text{难}}\text{中规中矩}\end{array}\\ \text{②}\text{做题：}\text{做题的数量(但也不用太多，思路正确的题目)}\uparrow \end{array}$$

定理8：柯西中值定理

$$\text{设}f(x),g(x)\text{满足}\{\begin{array}{l}\text{①}\text{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\\ \text{②}\text{在}(a,b)\text{内可导,则存在}\xi \in (a,b),\text{使得}\\ \text{③}{g}^{\prime }(x)\ne 0\end{array}$$

$${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}$$

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• $\text{①}$ 两次拉格朗日相除证柯西是错误的
  • 不知道两个$\xi$是否相等
• $\text{②}$ 取$g(x)=x$拉格朗日是柯西的特例
  • 柯$⟹$拉$⟹$罗尔
• $\text{③}$ $\text{③}$ 怎么考
  • 一个抽象($f(x)$),一个具体($g(x)$)
  • $†$(1.6.12)

一个数不为零往往是在分母上

证明$g^{\prime }(x)\ne 0$一般用反证法

$★$(热点，极为重要) 定理9：泰勒公式

$★$(真题) $†$(1.6.13)

• $\xi$是端点的函数不能往外面提
• $f(x)\text{leftrightarrowd}f(x)\leftrightarrow f^{\prime }(x)\leftrightarrow f^{″}(x)$
  • 
• 总结上面习题得到的知识结构：$†$(1.6.3)
• 
• 习题1.6.5 导数介值定理也是用费马定理证
  • 在区间内可导就可以取这个区间内的所有值(要么连续，要么震荡间断点)

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设$f(x)$在点$x_0$的某个领域内$n+1$阶导数存在，则对该领域内的任意点$x$,有

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+{\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1}$

其中$\xi$介于$x,x_0$之间

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• 最高导数是几就念几阶
• $x_0=0$是麦克劳林展开
  • $\mathrm{♠}$(p87:注2几个重要函数的麦克劳林展开)
  • $\mathrm{♠}$(p73:4) 用二阶配亚诺余项的麦克劳林展开证明
• 在一个区间处的

带配亚诺余项的n阶泰勒公式

设$f(x)$在点$x_0$处n阶可导，则存在$x_0$的一个领域，对于该领域内的任意点，有

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

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• 在一个点处的，局部的，极限的计算题

定理10：积分中值定理

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，存在$\xi \in [a,b]$,使得
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

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• $\mathrm{♠}$(p143:注3)