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高等数学-ch6.中值定理

zy2022

高等数学

高等数学-ch6.十大定理及其使用

pp.92

十大定理及其使用

  • 定理1-4为函数定理
  • 定理5-9为导数定理
  • 定理10为积分定理
  • 对比着看
    • (1.6.1) 离散的平均值定理:平均值定理
    • (1.6.2) 连续的平均值定理:积分中值定理

讲课风格:概念-练习-总结(升华)

定理1:有界与最值定理

mf(x)M,其中m,M分别为f(x)[a,b]上的最小值与最大值

意义: 函数一定在最大值和最小值之间

定理2:介值定理

mμM时,存在ξ[a,b],使得f(ξ)=μ


意义: 如果一个数在最大值和最小值之间,位于 ξ 处的点可以取到这个值

  • 信号:看到区间给的是闭区间

定理3:平均值定理

a<x1<x2<<xn<b时,在[x1,xn]内至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(x1)+f(x2)++f(xn)n


意义: 位于 ξ 处的点为所有数的平均值

  • 证明
  • 连续型和离散型两种考法
  • 看到函数值加加加,就想到除以其个数
    • p93 习题1.6.2

(真题,12年) (1.6.7)

定理4:零点定理

f(a)f(b)<0时,存在ξ(a,b),使得f(ξ)=0


意义: 函数出现正负变化,位于 ξ 处的点,能取到0

  • 由介值定理推出来

(可能会考证明题) 定理5:费马定理

f(x)满足在x0{可导,取极值,f(x)=0


  • () 可导+极值(区间内部的最值) f(x0)=0
    • 一定要快,不要拖泥带水
  • ()证明
    • 脱帽法值严格的不等
    • 戴帽法是非严格的不等
  • () (1.6.8)达布定理(也叫导数介值定理)
  • ch5讲过
  • 端点处无法用费马定理
  • 费马定理的应用:当一个人跑到最远处时,他的速度为零;当一个人跑的最快的时候他的加速度为0

费马大定理 xn+yn=zn大于2没有正整数解,经过300+年威尔斯证出来,为了证明这个创立了7门独立的学科

值得一看的书:《费马大定理》

导数零点定理

(特性)) 只要找到导数异号的两个点,中间一定有导数为0的点

  • (p58:书页标签) 前面讲过的知识 f(x)0f(x)保号
    • 单调函数必有反函数

(p90:1.6.8)

f(x)[a,b]上可导,证明当$f’+(a)\cdot f’-(b)<0\xi\in(a,b)使f(ξ)=0$

导数的定义

(极限保号,脱帽戴帽法) (脱帽戴帽法的前提函数连续?)

定理6:罗尔定理

f(x)满足{[a,b],(a,b)内可导,则存在ξ(a,b),使得f(ξ)=0f(a)=f(b),


  • f(x)=0有两个根 f(x)至少有一个根
  • 抓住两个问题:找端点值相同,找谁(F(x))的端点值相同
    • (p89:如何构造辅助函数)
      • 逆用乘积求导公式
        • (1.6.4) f(x)f(x)F(x)=f2(x)
        • [f(x)]2F(x)=f(x)f(x)
        • [f(x)+f(x)φ(x)]eφ(x)F(x)=f(x)eφ(x)

费马定理关键是找极值,罗尔定理找端点值相同,都能推出f(ξ)=0

罗尔vs拉格朗日:罗尔证明导数为0,拉格朗日得到导数为一个数,拉格朗日可以推罗尔:斜线变直

zy觉得很显然?没怎么看懂
(1.6.5) f(ξ)+df(ξ)=0

(1.6.6) f(ξ)λ[f(ξ)ξ]=1

  • (标准题)第二问遇到了困难,第一问是锦囊

(1.6.7) 两次罗尔定理

  • (把罗尔定理用到了极致)
  • 可以直接用积分中值定理证明(必须用注里面的方法,因为原定理是闭区间)

证明题见到积分的思路
证明题,见到abf(x)dx={积分中值定理f(ξ)(ba)F(x)=axf(t)dt

(什么是解题技巧,什么是基本东西) 不能光讲解题技巧忽略了基本的东西,(考题第一题,证明费马定理完了)

(习题1.6.3)f(ξ)=(113)f(ξ)

定理7:拉格朗日中值定理

f(x)满足{[a,b],(a,b)内可导使得
f(b)f(a)=f(ξ)(ba)
或者写成
f(ξ)=f(b)f(a)ba


  • 几何意义:割线与切线平行
  • 作用上:f(b)f(a)=f(ξ)(ba)
  • 常用的:f(x)f(x0)=f(ξ)(xx0)
  • 见到ff想到拉格朗日
    • ex1=exe0=eξx
  • 联系f与f, 立刻想到拉格朗日

(1.6.9)

(1.6.11)

  • 用一次拉格朗日是小题
  • 此题用两次是大题
  • 不同的两个数要用τ将区间切分

(思路预测)
{方向: 思路(考研)(smart 巧){只在一个点上刷题没有意义中规中矩做题:做题的数量(但也不用太多,思路正确的题目)

定理8:柯西中值定理

f(x),g(x)满足{[a,b],(a,b)内可导,则存在ξ(a,b),使得g(x)0

f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)


  • 两次拉格朗日相除证柯西是错误的
    • 不知道两个ξ是否相等
  • g(x)=x拉格朗日是柯西的特例
    • 罗尔
  • 怎么考
    • 一个抽象(f(x)),一个具体(g(x))
    • (1.6.12)

一个数不为零往往是在分母上

证明g(x)0一般用反证法

(热点,极为重要) 定理9:泰勒公式

(真题) (1.6.13)

  • ξ是端点的函数不能往外面提
  • f(x)\leftrightarrowdf(x)f(x)f(x)
  • 总结上面习题得到的知识结构:(1.6.3)
  • 习题1.6.5 导数介值定理也是用费马定理证
    • 在区间内可导就可以取这个区间内的所有值(要么连续,要么震荡间断点)
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

f(x)在点x0的某个领域内n+1阶导数存在,则对该领域内的任意点x,有

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)++1n!f(n)(x0)(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1

其中ξ介于x,x0之间


  • 最高导数是几就念几阶
  • x0=0是麦克劳林展开
    • (p87:注2几个重要函数的麦克劳林展开)
    • (p73:4) 用二阶配亚诺余项的麦克劳林展开证明
  • 在一个区间处的
带配亚诺余项的n阶泰勒公式

f(x)在点x0处n阶可导,则存在x0的一个领域,对于该领域内的任意点,有

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12!f(x0)(xx0)2++1n!f(n)(x0)(xx0)n+o((xx0)n)


  • 在一个点处的,局部的,极限的计算题

定理10:积分中值定理

f(x)[a,b]上连续,存在ξ[a,b],使得
abf(x)dx=f(ξ)(ba)


  • (p143:注3)
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