考研数学-ch5

zy2022

高等数学

高等数学 ch5.一元函数微分学的几何应用

三点两性一线

• 三点
  • 极值点
  • 最值点
  • 拐点
• 两性
  • 单调性
  • 凹凸性
• 一线
  • 渐近线

$\spadesuit$(p80:例1.5.11) 有能力画图

极值与最值的概念

• 定义1，2
• 极值是局部的，最值是整体的
• 极值点双侧有定义
• $\spadesuit$(p72:举例子) 最值不到一定是极值，极值不一定是最值
• $\spadesuit$(p72:注三) 间断点可以是极值点

极值

最值

单调性与极值的判别

$\bigstar$(非常漂亮的考题) $\spadesuit$(p77:例1.5.1)(抽象函数)

• $\bigstar$*无数 $\spadesuit$(p86:定理7) 拉格朗日中值定理
• 补充的定理

$\spadesuit$(p77:例1.5.2)(显函数)留到 $\spadesuit$(p?:例题1.5.11)讲

$\spadesuit$(p？:例1.5.3) 隐函数
既然无穷阶可导，直接用定理2更快

$\spadesuit$(p？:例1.5.4) 隐函数

$\spadesuit$(p？:例1.5.6) 参数方程

基础班没有做题型的划分，强化班更为清晰的解题的思路和结构

单调性的判别

$f’(x)>0$则导数单调增

判别值的必要条件

费马定理($\spadesuit$(p?:第六讲证明))

• 一阶可导点是极值点的必要条件
• 是必要不是充要
  • $y=x^3,y’|{x=0}=3x^2|{x=0}=0$不是极值点

判别值的第一充分条件

$f(x)$在$x=x_0$处连续，且在$x_0$的某去心领域$\mathring{U}(x_0,\delta)$内可导
$\mho$(三点)

判别值的第二充分条件

可由判别值的第一充分条件推出

$\bigstar$(真题证明题的思路) 用局部保号性证明

判别值的第三充分条件

取n为2时,即为判别值的第二充分条件

$f(x)$在$x_0$处$n$阶可导，且$f^m(x_0)=0(m=1,2,\cdots,n-1),f^n(x_0) \neq 0(n \geq2)$，则

${\textstyle\unicode{x2460}}$当$n$为偶数且$f^n(x_0) < 0$时，f(x)在$x_0$处取得极大值

${\textstyle\unicode{x2461}}$当$n$为偶数且$f^n(x_0) > 0$时，f(x)在$x_0$处取得极小值

凹凸性与拐点的概念

凹凸性

比较函数值的中点和割线的中点

凹曲线$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

凸曲线$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

拐点

连续曲线的凹凸的分界点

注意两段表达

$$\begin{cases} \text{拐点在曲线上，写作}(x_0,f(x_0)) \cr \text{极值点在定义域上，写作}x_0 \end{cases}$$

凹凸性与拐点的判别

图片详情

$\bigstar$(训练解题能力) $\spadesuit$(p？:例1.5.5) 对比 $\spadesuit$(p？:例1.4.8)来看

$\spadesuit$(p？:例1.5.6)

凹凸性判别

判拐点的必要条件

二阶可导是拐点的必要条件

$\sharp$ 单纯->复杂(知道题目背后的陷阱和损招)->单纯

$\bigstar$(回顾) 一个幂函数

$$(x-x_0)^n = \begin{cases} \text{求n阶导} \implies n! \neq 0 & \cr \text{求n+1阶导} \implies 0& \end{cases}$$

判拐点的第一充分条件

判拐点的第二充分条件

判拐点的第三充分条件

渐近线

水平线和斜渐近线在一个方向上不会同时存在

$\spadesuit$(p？:1.5.7)

• 求渐近线的程序
  • ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 先找无定义点$x0$，求$\displaystyle \lim{x \to x{0^+},x{0^-},x_{0}}f(x)$是否为$\infty$,若是$\infty$则为铅锤渐近线;
  • ${\textstyle\unicode{x2461}}$ 求$\displaystyle \lim_{x \to +\infty,-\infty,\infty}f(x)$是否存在为A，若为A则存在水平渐近线
  • ${\textstyle\unicode{x2462}}$ 求$\displaystyle \lim_{x \to +\infty,-\infty,\infty}f(x)=\infty$,求$k,b$，是否为非零常数，若是常数则为斜渐近线

铅锤渐近线

看函数的无定义点

水平渐近线

看正无穷和负无穷是否趋向于一个数

斜渐近线

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}[f(x)-(kx+b)]=0$

${\textstyle\unicode{x2460}}$ $k= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x}$

${\textstyle\unicode{x2461}}$ $b=\lim_{x \to \infty}[f(x)-kx]$

$y=x+sin(x)$没有斜渐近线

$y=x+sin(\dfrac{1}{x})$有斜渐近线$y=x$

$\sharp$ 斜渐近线必须是和x的同阶无穷大

最值或取值范围

是一个全局的概念所以放在最后讲

$\dagger$(1.5.10) 幂值函数

• $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\dfrac{ln(x)}{x},\dfrac{- \infty}{0}=0$
• $x^{\dfrac{1}{x}}$的图像
  • 

闭区间$[a,b]$

这些都是基本功，扎扎实实的做好

$$\text{比较得出最大和最小}\begin{cases} (可疑点)f'(x)= \begin{cases} =0 \cr 不存在 \end{cases} \cr \text{端点}a,b & \end{cases}$$

开区间$(a,b)$

$$\text{比较得出最大和最小}\begin{cases} (可疑点)f'(x)= \begin{cases} =0 \cr 不存在 \end{cases} \cr \displaystyle \lim_{x \to \star}f'(x)= \begin{cases} =A(\text{常数或}\infty)(\text{左}) \cr =B(\text{常数或}\infty)(\text{右}) \end{cases} \end{cases}$$

做函数图像

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 先看性质看奇偶性

${\textstyle\unicode{x2461}}$ $f(x)$定义不存在的点,单调性，凹凸性，极值点拐点

$$f(x)=\text{不存在}$$ $$f'(x) = \begin{cases} 0 (\text{驻点}) \cr \text{不存在(不可导点)} & \end{cases}$$ $$f''(x) = \begin{cases} 0 (\text{拐点}) \cr \text{不存在(不可导点)} & \end{cases}$$

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 确定渐近线

${\textstyle\unicode{x2463}}$ 做出函数图形

题目

$\bigstar$(题源 ) $\dagger$(1.5.11)