zy2022
高等数学
高等数学 ch5.一元函数微分学的几何应用
三点两性一线
- 三点
- 极值点
- 最值点
- 拐点
- 两性
- 单调性
- 凹凸性
- 一线
- 渐近线
$\spadesuit$(p80:例1.5.11) 有能力画图
极值与最值的概念
- 定义1，2
- 极值是局部的，最值是整体的
- 极值点双侧有定义
- $\spadesuit$(p72:举例子) 最值不到一定是极值，极值不一定是最值
- $\spadesuit$(p72:注三) 间断点可以是极值点
极值
最值
单调性与极值的判别
$\bigstar$(非常漂亮的考题) $\spadesuit$(p77:例1.5.1)(抽象函数)
- $\bigstar$*无数 $\spadesuit$(p86:定理7) 拉格朗日中值定理
- 补充的定理
$\spadesuit$(p77:例1.5.2)(显函数)留到 $\spadesuit$(p?:例题1.5.11)讲
$\spadesuit$(p？:例1.5.3) 隐函数
既然无穷阶可导，直接用定理2更快
$\spadesuit$(p？:例1.5.4) 隐函数
$\spadesuit$(p？:例1.5.6) 参数方程
基础班没有做题型的划分，强化班更为清晰的解题的思路和结构
单调性的判别
$f’(x)>0$则导数单调增
判别值的必要条件
费马定理($\spadesuit$(p?:第六讲证明))
- 一阶可导点是极值点的必要条件
- 是必要不是充要
- $y=x^3,y’|{x=0}=3x^2|{x=0}=0$不是极值点
判别值的第一充分条件
$f(x)$在$x=x_0$处连续，且在$x_0$的某去心领域$\mathring{U}(x_0,\delta)$内可导
$\mho$(三点)
判别值的第二充分条件
可由判别值的第一充分条件推出
$\bigstar$(真题证明题的思路) 用局部保号性证明
判别值的第三充分条件
$f(x)$在$x_0$处$n$阶可导，且$f^m(x_0)=0(m=1,2,\cdots,n-1),f^n(x_0) \neq 0(n \geq2)$，则
${\textstyle\unicode{x2460}}$当$n$为偶数且$f^n(x_0) < 0$时，f(x)在$x_0$处取得极大值
${\textstyle\unicode{x2461}}$当$n$为偶数且$f^n(x_0) > 0$时，f(x)在$x_0$处取得极小值
凹凸性与拐点的概念
凹凸性
比较函数值的中点和割线的中点
凹曲线$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
凸曲线$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
拐点
连续曲线的凹凸的分界点
注意两段表达
$$
\begin{cases}
\text{拐点在曲线上，写作}(x_0,f(x_0)) \cr
\text{极值点在定义域上，写作}x_0
\end{cases}
$$
凹凸性与拐点的判别
图片详情
$\bigstar$(训练解题能力) $\spadesuit$(p？:例1.5.5) 对比 $\spadesuit$(p？:例1.4.8)来看
$\spadesuit$(p？:例1.5.6)
凹凸性判别
判拐点的必要条件
二阶可导是拐点的必要条件
$\sharp$ 单纯->复杂(知道题目背后的陷阱和损招)->单纯
$\bigstar$(回顾) 一个幂函数
$$
(x-x_0)^n = \begin{cases}
\text{求n阶导} \implies n! \neq 0 & \cr
\text{求n+1阶导} \implies 0&
\end{cases}
$$
判拐点的第一充分条件
判拐点的第二充分条件
判拐点的第三充分条件
渐近线
水平线和斜渐近线在一个方向上不会同时存在
$\spadesuit$(p？:1.5.7)
- 求渐近线的程序
- ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 先找无定义点$x_0$，求$\displaystyle \lim_{x \to x_{0^+},x_{0^-},x_{0}}f(x)$是否为$\infty$,若是$\infty$则为铅锤渐近线;
- ${\textstyle\unicode{x2461}}$ 求$\displaystyle \lim_{x \to +\infty,-\infty,\infty}f(x)$是否存在为A，若为A则存在水平渐近线
- ${\textstyle\unicode{x2462}}$ 求$\displaystyle \lim_{x \to +\infty,-\infty,\infty}f(x)=\infty$,求$k,b$，是否为非零常数，若是常数则为斜渐近线
铅锤渐近线
看函数的无定义点
水平渐近线
看正无穷和负无穷是否趋向于一个数
斜渐近线
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}[f(x)-(kx+b)]=0$
${\textstyle\unicode{x2460}}$ $k= \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x}$
${\textstyle\unicode{x2461}}$ $b=\lim_{x \to \infty}[f(x)-kx]$
$y=x+sin(x)$没有斜渐近线
$y=x+sin(\dfrac{1}{x})$有斜渐近线$y=x$
$\sharp$ 斜渐近线必须是和x的同阶无穷大
最值或取值范围
是一个全局的概念所以放在最后讲
$\dagger$(1.5.10) 幂值函数
- $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\dfrac{ln(x)}{x},\dfrac{- \infty}{0}=0$
- $x^{\dfrac{1}{x}}$的图像
闭区间$[a,b]$
这些都是基本功，扎扎实实的做好
$$
\text{比较得出最大和最小}\begin{cases}
(可疑点)f’(x)= \begin{cases}
=0 \cr
不存在
\end{cases}
\cr
\text{端点}a,b &
\end{cases}
$$
开区间$(a,b)$
$$
\text{比较得出最大和最小}\begin{cases}
(可疑点)f’(x)= \begin{cases}
=0 \cr
不存在
\end{cases}
\cr
\displaystyle \lim_{x \to \star}f’(x)= \begin{cases}
=A(\text{常数或}\infty)(\text{左}) \cr
=B(\text{常数或}\infty)(\text{右})
\end{cases}
\end{cases}
$$
做函数图像
${\textstyle\unicode{x2460}}$ 先看性质看奇偶性
${\textstyle\unicode{x2461}}$ $f(x)$定义不存在的点,单调性，凹凸性，极值点拐点
$$f(x)=\text{不存在}
$$
$$
f’(x) = \begin{cases}
0 (\text{驻点}) \cr
\text{不存在(不可导点)} &
\end{cases}
$$
$$
f’’(x) = \begin{cases}
0 (\text{拐点}) \cr
\text{不存在(不可导点)} &
\end{cases}
$$
${\textstyle\unicode{x2462}}$ 确定渐近线
${\textstyle\unicode{x2463}}$ 做出函数图形
题目
$\bigstar$(题源 ) $\dagger$(1.5.11)