好好学习

考研数学大纲

视频地址
术语规范：书本指的是zy2022，课本指的是同济教材

部分结合同济高等数学教材

回答：什么是基础？

定义、定理、性质要清晰

zy2022：2022考研导学

考研数学具有稳定性
本质和学科素养

历史沿革

莱布尼茨

$\downarrow$

伯努利

$\downarrow$

欧拉

$\downarrow$

拉格朗日

$\downarrow$

柯西

一道例题

$\dfrac{0}{0}$形：洛必达法则
$\bigstar$(必出)泰勒公式：任何可导$f(x) = \sum a_nx^n$,统一成幂函数，统一美
$\bigtriangledown$ $o(x^3)+o(x^3)=o(x^3)$，这只是一种记号
$\bigstar$ $\bigstar$ $x-sinx \sim \dfrac{1}{6}x^3(x \to 0)$
- 打开试卷先找’狗’
- $sinx \to x^1$
- $1- cosx \to \dfrac{1}{2}x^2$

复习建议

基础30讲

习题《1000》型A组

《基础习题》200题

36讲

高数18讲
现代9讲
概率9讲

1000bc

zy2022

习题标记含义：
1.4.1：1（高等数学）.4（第四讲）.1 （第一题）

视频锚点

高等数学 ch.1

函数的概念与特性

此函数非多值函数

函数$y=f(x)$

反函数$y=f^{-1}(x)$

严格单调函数必有反函数
$x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$的图像完全一致。只有把反函数写成$y=f^{-1}(x)$才关于x对称。
- 可以理解为 $f$ 是一种映射方法，$y=f(x)$ 将x轴的值正向映射到y轴的值, $y=f^{-1}(x)$ 将x轴的值反向映射到y轴的值

复合函数$y=f[g(x)]$

掌握复合函数的方法
解析
- 变量广义化
- 一致单调性
值域的解法
- 画图
- 配方
- 求导

$\bigstar$ 四种特性

有界性

有界无界必须先指明区间
如何证明:找到一个正数$M$使得$|f(x)|\leq M$

单调性

$\mho$(第二点对应的习题)

如何证明: $\bigstar$ 求导证明
定义法

$\bigstar$ $\clubsuit$ 奇偶性

$\text{设}f(x)\text{是定义在}[-l,l]\text{上的任意函数，则}$

$F_1(x) = f(x) -f(-x) \text{必为奇函数},F_2(x)=f(x)+f(-x) \text{必为偶函数}$

$\text{显然}u(x)=\dfrac{1}{2}[f(x)+f(-x)]\text{是偶函数,} \dfrac{1}{2}[f(x) -f(-x)]\text{是奇函数,}\text{而}$

$f(x) = \dfrac{1}{2}[f(x)+f(-x)] + \dfrac{1}{2}[f(x) -f(-x)]=u(x)+v(x)$

奇函数在0点有定义，$f(0)=0$

偶函数在0点有定义，$f’(0)=0$

$\text{函数}y=f(x)\text{与}y=-f(x)\text{的图形关于x轴对称;函数}y=f(x)\text{与}y=f(-x)\text{的图形关于y轴对称；函数}y=f(x)\text{与}y=-f(-x)\text{的图形关于原点对称}$

函数$y=f(x)$的图形关于直线$x=T$对称的充分必要条件是

$f(x)=f(2T-x)\text{或}f(x+T)=f(T-x)$

周期性

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$ $\spadesuit$(p6:必考) 7个重要结论

求导之后奇偶性互换

$\sharp$ 拉格朗日中值有什么用:

用导数的大小控制函数的大小

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$ 函数的图像

$\bigtriangledown$ 用微分法和积分法研究函数的性态和测度

直角坐标系下的图像($f(x,y)=0$)

常见图像

基本初等函数与初等函数

基本初等函数：常数函数+反对幂指三

${\textstyle\unicode{x2460}}$见到$\sqrt{u},\sqrt[3]{u}$,用$u$研究最值

$\bigstar$ ${\textstyle\unicode{x2461}}$见到$|u|$用$u^2$研究最值

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 见到$\dfrac{1}{u}$,用$u$即可研究最值，$u>0$

$\bigstar {\textstyle\unicode{x2463}}\text{见到} u_1 u_2 \cdots u_n = u \text{用} ln u = \displaystyle\sum_{i=1}^n ln u_i$

指数函数
对数函数
$\bigstar$(100%要做第二个变换) 恒等变换$x=e^{ln x},u^v=e^{ln u^v}=e^{v ln u}$
三角函数
反三角函数
- $sinx$取$-\dfrac{\pi}{2}$到$\dfrac{\pi}{2}$区间做变换
- $cos x$取$0$到$\pi$区间做变换
- $f(x)=arcsin(x)+arccos(x)=\dfrac{\pi}{2}$
  - $f’(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{-\sqrt{1-x^2}} \equiv 0$
  - 拉：$f(b)-f(a)=f’(g)(b-a)$
$\bigtriangledown$ $xe^x,xln(x),x^x$随手就能画出来
取整函数
- $x-1<[x]<x$
常见图像要不假思索的画出来

图像变换

平移变换

自变量变换：左加右减

对称变换

添负号
函数添加绝对值
$\bigstar$ 自变量加绝对值

伸缩变换

自变量kx，横坐标缩小$\dfrac{1}{k}$

$\spadesuit$(p13:极坐标系下的图像) 极坐标系下的图像($g(r,\theta)=0$)

用描点法画常见图像

$\bigstar$ 心形线

$r=a(1-cos(\theta))$
外摆线的一种

玫瑰线

$r=a\cdot sin(3\theta)$

阿基米德螺线

$r=a\cdot \theta(a>0.\theta\leq 0)$

伯努利双扭线

$r^2=2a^2cos(2\theta)$

用直角系观点画极坐标系下图像

感觉好像没有想象中的那么流畅？
如果r随角度增大是很明显的螺旋线

参数法——参数方程

$\left( \{ \begin{array}{cc} x = x(t)\\ y=y(t) \end{array} \right)$

$\bigstar$ 摆线

$\{ \begin{array}{cc} x = r(t-sin(t))\\ y=r(1-cos(t)) \end{array}$

平摆线(在地平摆动的线)
周期是$\pi r$

$\bigstar$ 星形线

$\{ \begin{array}{cc} x = r\cdot cos^3t\\ y=r\cdot sint^3t \end{array}$

内摆线

$\spadesuit$(p23:1.1.4，p24答案) 对数螺线

$r=ae^{k\theta}$

常用基础知识

数列

等差数列

首项为$a_1$，公差为$d$(d $\neq$ 0)的数列$a_1,a_1+d,\cdots,a_1+(n-1)d$

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 前$n$项的和$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$

$\bigstar$ 等比数列

首项为$a_1$,公比为$r(r\neq0)$的数列$a_1,a_1r,a_1r^2,\cdots,a_1r^{n-1}$

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 通项公式$a_n=a_1r^{n-1}$

${\textstyle\unicode{x2461}}$ 前$n$项的和(n从1开始数，$\color{red}{\text{记忆}}$读法：首项乘以(1-公比的n次方)，除以1-公比)

$S_n = \begin{cases} na_1 ,& r=1, \\ \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r} ,& r\neq 1, \end{cases}$

若$|r|<1 \implies \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1-r^n}{1-r}=\dfrac{1}{1-r}$

一些常见数列前$n$项和

${\textstyle\unicode{x2460}}$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdot+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

${\textstyle\unicode{x2461}}$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdot+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

${\textstyle\unicode{x2462}}$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{1 \times 2}+ \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} +\cdot+\dfrac{1}{n \times (n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$ (列项相消)

三角函数

三角函数的基本关系

$sec \alpha = \dfrac{1}{cos \alpha}$
$1+tan^2=sec^2\alpha$
$csc \alpha = \dfrac{1}{sin \alpha}$
$cot \alpha = \dfrac{1}{tan \alpha}$

诱导公式

$\bigstar$(换元常用，自己一开始没怎么理解) 8点,奇变偶不变，符号看象限

$sin(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha) = cos\alpha$
$cos(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp sin\alpha$
$sin(\pi \pm \alpha) = \mp sin\alpha$
$cos(\pi \pm \alpha) = - cos\alpha$

重要的公式

倍角公式

$sin 2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$
$cos2\alpha=cos^2-sin^2=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1$
$sin 3\alpha = -4sin^2\alpha+3sin\alpha$

$\bigstar$(真题) $\text{当}x\to 0\text{时,}3sin3x-sin3x \backsim cx^k,c=?,k=?$

解法1：泰勒展开，幂次最低原则展开
解法2：$sin 3\alpha = -4sin^2\alpha+3sin\alpha$

和差公式

$tan(\alpha \pm \beta)=\dfrac{tan\alpha \pm tan \beta}{1 \mp tan\alpha tan\beta}$

$tan(\dfrac{\pi}{4}+\alpha)$

$sin(\alpha \pm \beta)=sin\alpha cos\beta \pm cos \beta sin \alpha$

万能公式

指数运算法则

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$(多项相乘，相除，乘方，开方) 对数运算法则

$\spadesuit$(p65:1.4.19) $y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}},\text{求}y’$
- 加绝对值取对数
统计学里的极大似然估计法
见到$ln(1+\dfrac{1}{x})$ $\spadesuit$(p21:常用不等式(10))
- 拉格朗日

一元二次方程基础

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$

${\textstyle\unicode{x2461}}$根的公式$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

讲微分方程的时候会用到加上虚部i, 共轭复根

${\textstyle\unicode{x2462}}$ 根与系数的关系(韦达定理)$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$

因式分解公式

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- 系数记忆方法：1331
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
二项定理$(a+b)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$
- 次消彼长
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

阶乘与双阶乘

$(2n)!!=2\cdot4\cdot6\cdot \cdots \cdot(2n)=2^n\cdot n!$
$(2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdot \cdots \cdot(2n-1)$
- $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$(必考) 华里士公式(点火公式)
- 如: $\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{10}xdx=\dfrac{9}{10}\dfrac{7}{8}\dfrac{5}{6}\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}$
- 如: $\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^{9}xdx=\dfrac{8}{9}\dfrac{6}{7}\dfrac{4}{5}\dfrac{2}{3}$

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$ 常用不等式

$\spadesuit$(p？:例1.2.2) 设a,b为实数，则 ${\textstyle\unicode{x2460}}$ $|a\pm b| \leq |a|+|b|$; ${\textstyle\unicode{x2461}}$ $||a|-|b|| \leq |a-b|$ $\spadesuit$(p?:例1.2.2)

函数的极限和绝对值极限的关系
推广：离散，连续情况
绝对值不等式的记忆方法：其实稍微推导一下是很显然的对于2式子只需考虑，左边的最大比右边的最小要小即可(即符号相同，其实左边的差无所谓符号)
由此可以归纳出，绝对值有让数字变大的趋势，绝对值的差会让数字变小

${\textstyle\unicode{x2460}}$ $\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ $\spadesuit$(p?:例题1.1.4)

几何平均值小于算数平均值

高等数学 ch2.数列极限

p32

数列极限

求极限（或证明极限的存在性）

引言

极限，是一个”无限趋近的过程“
- 注意是过程，不是值

定义法解极限题目	要点
	$\spadesuit$(p27:例1.2.1) $\spadesuit$(p29:习题1.2.1)三部曲 ${\textstyle\unicode{x2460}}$ 先写距离$\lvert x_n-a\rvert < \varepsilon$(先写距离，数列通项减去a，加绝对值) ${\textstyle\unicode{x2461}}$ 反解出$n>g(\varepsilon)$ ${\textstyle\unicode{x2462}}$ 取$N=[g(\varepsilon)]+1$

用定义

设$\lbrace x_n \rbrace$为一数列，如果存在常数$a$,对于任意给定的正数$\varepsilon$(无论它多么小),总存在正整数$N$，使得当$n>N$时,不等式$\lvert x_n -a \rvert < \varepsilon$都成立，那么就称常数$a$是数列$\lbrace x_n \rbrace$的极限，或者称数列$\lbrace x_n \rbrace$收敛于$a$,记为

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n =a \quad \text{或} \quad x_n \to a(n \to \infty)$

‘$\varepsilon-N$语言’
数列与子列的关系

$\spadesuit$(p？:例题1.2.2)若原极限存在，则加绝对值的极限也存在

由绝对值不等式$||a|-|b|| \leq |a-b|$

但是注意右不能推左,即若加绝对值的极限也存在,原极限可能不存在

$\text{除非}A=0，\bigstar \displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0 \iff \displaystyle \lim_{n \to \infty}|a_n|=0$

夹逼定理可以用绝对值，省去了一半的功夫

一个命题的逆否命题可以用来帮助判断(德摩根定律)

判断数列是否收敛的两个方法，用逆否命题

取一个子数列不收敛
取两个子数列没有收敛到一个数

用定义解题总结: 当给定极限为几的时候，要你证明可以尝试要用定义法

$\spadesuit$(p27:收敛数列的性质) 用性质

定理1 唯一性

给出数列${xn}$,若$\displaystyle\lim{n\to \infty}x_n=a$(存在)，则$a$是唯一的

定理2 有界性

若数列${x_n}$极限存在，则数列${x_n}$有界

定理3 $\bigstar$(脱帽法) 保号性

设数列$\lbrace a_n \rbrace$存在极限$a$,且$a>0$(或$a<0$),,则存在正整数$N$，当$n>N$时，有$a_n>0$(或$a_n<0$)

推论如果数列${an}$从某项起有$a_n\geq 0$,且$\displaystyle\lim{n\to \infty}a_n=a$,则$a\geq 0$

(脱帽法)不带等号

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n=a>0 \implies a_n>0$

(戴帽法)通项大于0，极限(加上了帽子的限制)也大于0，始终带有一个等号

$a \geq 0 \impliedby \begin{cases} a_n \geq 0 \\ \text{且} \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =a \end{cases}$

即使通项严格大于零，极限有可能是0

用数列极限运算法则

数列极限的运算法则如下,即加减乘除的极限等于极限的加减乘除

设$\displaystyle \lim{n \to \infty}x_n=a,\quad \displaystyle \lim{n \to \infty}y_n=b$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n\pm y_n)=a \pm b$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n y_n=ab$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}( \dfrac{x_n}{y_n} )=\dfrac{a}{b}$

推论

如果$\lim f(x)$存在，而$c$为常数，那么$\lim \lbrack cf(x) \rbrack = c\lim f(x)$

如果$\lim f(x)$存在，而$n$为正整数，那么$\lim \lbrack f(x) \rbrack^n = [\lim f(x)]^n$

注意不能拆，反例分析：

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = 1 \nRightarrow \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n +\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 1$

例如：$a_n=(-1)^n,b_n=-(-1)^n+1$

但是已经存在是可以直接用$\spadesuit$(p？:例题1.2.4)

用数列极限运算法则解题总结：emmm，一般不会单独出吧

$\bigstar$ 用夹逼准则

如果数列${x_n},{y_n},{z_n}$满足

${\textstyle\unicode{x2460}}$ $y_n \leq x_n \leq z_n(n=1,2,3,\cdots)$

${\textstyle\unicode{x2461}}$ $\displaystyle lim{n\to \infty}y_n=a,\quad \displaystyle lim{n\to \infty}z_n=a$

则数列${xn}$的极限存在，且$\displaystyle lim{n\to \infty}x_n=a$

夹：夹逼准则不验证等号

逼：’哪里跑’

$\spadesuit$(p28:例题1.2.5)

经典的把分母放大缩小

$\spadesuit$(p？:习题1.2.2)

$\bigstar$(考研真题) $\spadesuit$(p？:习题1.2.3)

只变分母不变分子

用夹逼准则解题：表达式可以很好的放缩

$\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$(考研数学压轴题的考点) 用单调有界准则

单调有界数列必有极限，即若数列${xn}$单调增加(减少)且有上界(下界),则$\displaystyle \lim{n \to \infty}x_n$存在

单调有界数列必有极限

证明数列单调的两个方法

做差$x_{n+1}-x_n$
做比$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} \leq 1$(同号)

$\spadesuit$(p？:1.2.6 和1.2.7)

$\bigstar$ 见到递推式 $a_{n+1}=f(a_n)$一般用单调有界准则 $\mho$(还有一些别的方法)

$\blacktriangleright$(为什么还要证明$A\geq \sqrt{2}$))例题1.2.6没怎么看懂，因为求出来有正负两个值

$\bigstar$(真题) $\spadesuit$(p？:1.2.7) 取无数次sin $\spadesuit$(p21: $sinx<x$)
数学分析的思想：用迭代逼近一个数

$\flat$ $\spadesuit$(p？:例1.2.4) $\spadesuit$(p18:裂项相消)

$\bigstar$(求极限的另外一个方法直接计算出来(直接计算算法，考验恒等变化)) $\spadesuit$(p？:例题1.2.6 ) 二阶递推变成1阶递推 ,裂项相消的逆运算

用单调有界准则解题总结:
分三步

证明单调：
- 求导
- 做差的极限小于0
证明有界：
- 不等式
求极限值：
- 等式两边取极限

适用题型:给递推式

用定积分的定义

如例1.8.23

高等数学 ch3.函数极限与连续性

p39

$\bigstar$(学习方法) 对知识结构的把握，纲举目张

运算法则-无穷小比阶来研究7种未定式计算

函数极限

方法一览

定义

局部有界性

局部保号性

强调计算

领域

一维的情况

可以叫区间

领域：以$x_0$为中心的任何开区间称为点$x_0$的领域，记作$U(x_0)$
$\delta$领域：记作$U(x_0,\delta)$
去心$\delta$领域：记作$\mathring{U}(x_0,\delta)$

二维的情况

以$p$为圆心，圆内的点就是其领域，可以叫区域

$\delta$领域：记作$U(p_0,\delta)$

定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心领域内有定义.如果存在常数$A$，对于给定的正数$\varepsilon$(无论它多么小)，总存在正数$\delta$,使得$x$满足不等式$0 \lvert x-x_0 \rvert < \delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

$\lvert f(x) -A \rvert < \varepsilon$

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x \to x_0$时的极限，记作

$\lim_{x \to x_0}f(x)=A \text{或} f(x) \to A \quad (\text{当}x \to x_0)$

可以简单的表述为

$\lim_{x \to x_0}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists \delta > 0,\text{当}0< \lvert x - x_0\rvert < \delta \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

左极限：

$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists \delta > 0,\text{当} x_0 - \delta < x <x_0 \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

右极限：

$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists \delta > 0,\text{当} x_0 < x < x_0 - \delta \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

自变量趋于无穷大的极限：

$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists X > 0,\text{当} \lvert x \rvert > X \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

自变量趋于负无穷大的极限:

$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists X > 0,\text{当} x < -X \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

自变量趋于正无穷大的极限:

$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \iff \forall \varepsilon >0, \exists X > 0,\text{当} x > X \text{时，有} \lvert f(x)-A \rvert < \varepsilon$

‘$\varepsilon-\delta$语言’

‘$\varepsilon-X$语言’,总共四种要整理一下

极限和函数的值没有任何关系

脱帽法

无穷小的阶数是可以计算的

性质

$\bigstar$(真题) $\spadesuit$(p？:例题1.3.1)

考虑趋向于$0^+和0^-的两种情况$
极限的和等于和的极限的前提 $\mho$(前提是啥来着)

唯一性 $\bigstar$

如果$\lim_{x \to x_0}\text{存在}$,那么这极限唯一

局部有界性 $\bigstar$

如果$\lim_{x \to x_0}f(x)=A,$那么存在常数$M>0$和$\delta>0$,使得当$0< \lvert x - x_0 \rvert < \delta\text{时，有}\lvert f(x) \rvert \leq M$

有限个有界的函数和差积依然是有界函数，如果是无限个的话就变成了级数
$\spadesuit$(p6:(5)7行)需要倒背如流，第七个用拉格朗日去证
拉格朗日的作用，导数为0和导数为正无穷，导数值决定了函数值(证明)
$\bigstar$(真题) $\spadesuit$(p？:1.3.2 ) 排除法

局部保号性 $\bigstar$

如果 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A,且$A>0$(或$A<0$),那么存在常数$\delta >0$,使得当$0< \lvert x - x_0 \rvert < \delta$是，有$f(x)>0$(或$f(x)<0$)

简单的证明

戴帽法极具区分度，一定要记准确

运算法则

定理1 两个无穷小的和是无穷下

推广：有限个无穷小的和也是无穷小

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3 加减乘除的极限等于极限的加减乘除

如果 $\lim f(x)=A, \lim g(x)=B$那么

(1) $\lim \lbrack f(x) \pm g(x) \rbrack =\lim f(x) \pm \lim g(x)=A \pm B$

(2) $\lim \lbrack f(x) \cdot g(x) \rbrack =\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A \cdot B$

(3) 若又有$B \neq 0,\text{则}$

$\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}= \dfrac{A}{B}$

推论1 如果$\lim f(x)$存在，而$c$为常数，那么$\lim \lbrack cf(x) \rbrack = c\lim f(x)$

推论2 如果$\lim f(x)$存在，而$n$为正整数，那么$\lim \lbrack f(x) \rbrack^n = [\lim f(x)]^n$

定理6(复合函数的极限运算法则)

设函数$y=f\lbrack g(x) \rbrack$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成,$f\lbrack g(x) \rbrack \text{在点}x0$的某去心领域内有定义，若$\displaystyle \lim{x \to x0}g(x)=u_0, \displaystyle \lim{u \to u_0}f(u)=A\text{,且存在}x \in \mathring{U}(x_0,\delta_0)\text{时,有}g(x) \neq u_0$则

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f\lbrack g(x) \rbrack =\displaystyle \lim_{u \to u_0}f(u)=A$

如果两个函数的极限存在，那么对应极限的加减乘除等于对饮加减乘除的极限

注意除法，分母不能是0

夹逼准则

洛必达法则

法则一

必须满足下面三个条件

两个函数都趋向于0

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 两个函数可导

两个函数相除的极限存在，趋向于0或者无穷大

$\text{则}\displaystyle \lim_{x \to \cdot} \dfrac{f(x)}{F(x)} \buildrel \rm \dfrac{0}{0} \text{或者} \dfrac{\infty}{\infty}\over{=} \displaystyle \lim_{x \to \cdot} \dfrac{f'(x)}{F'(x)}$

第三点条件很重要，一个反例

右边存在左边必定存在，反之不然

常识性问题$\displaystyle \int_0^\pi sin(x)dx=2$

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\displaystyle \int_a^x |sin(x)|dt}{x} \buildrel \rm \dfrac{\infty}{\infty}\over{=}\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{|sin(x)|}{1}$

但是洛必达失效$\mho$(涉及到的知识比较多，之后再讲)

泰勒公式 $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

8个重要函数

公式

8个重要函数

$sin(x)$是奇函数，展开绝对没有偶函数

掌握无穷小的计算规则 $\spadesuit$(p38: 掌握无穷小的计算规则)

$\dfrac{A}{B}$ $\bigstar$(考研真题) $\spadesuit$(p36:考研真题)

展开原则

$A-B$型，展开至系数不相等的$k$次幂

常见的等价变化，$\spadesuit$(p38:常见的等价变化)

强调的两个等价变换

$x + sin(x)\backsim 2x$
$x - sin(x)\backsim \dfrac{1}{6}x^3$

归结原则(函数极限与数列极限的关系)

如果极限$\displaystyle \lim{x \to x_0}f(x)$存在,$\lbrace x_n \rbrace$为函数$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足:$x_n \neq x_0(n \in N+)$,那么相应的函数值数列$\lbrace f(xn) \rbrace$必收敛,且$\displaystyle \lim{n \to \infty}f(xn)=\displaystyle \lim{x \to x_0}f(x)$

海涅定理：联系离散和连续的常识

海涅定理只用不证

右推课本的例子

$\bigstar$(真题) $\spadesuit$(p？:例题1.3.14) 左推

幂值函数写成$u^v=e^{vlnu}$
$ln(1+g(x)) \backsim g(x),g(x) \to 0$
- $lnu = ln(1+u-1) \to u-1,u \to 1$

无穷小比阶(题型)

无穷大和极限都是一个过程
不是所有的无穷小都能比阶 $\mho$(反例，书本上的)

七种未定式的计算

$\dfrac{0}{0}\text{0比0} ,\quad$ $\dfrac{\infty}{\infty} \text{无穷比无穷},\quad$ $\infty \cdot 0\text{无穷乘0}$

$\infty - \infty\text{无穷减无穷}$,

$\infty^0\text{无穷的0次方}, \quad0^0\text{0的0次方}, \quad1^{\infty}\text{1的无穷次方}$

5种方法

四则运算方法
洛必达法则
泰勒公式
归结原则
夹逼准则

第一步：化简

$e^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}[e^{f(x)-g(x)}-1] \backsim f(x)-g(x)$
$e^{sin(x)}-e^{(x)}=sin(x)-x=-\dfrac{1}{6}x^3$

第二步判断类型：7种中的一种

$\dfrac{0}{0}$，$\dfrac{\infty}{\infty}$

洛必达
泰勒展开

$\spadesuit$(p？:例1.3.3)

上面次数高，地面次数低，方便运算
倒代换

$\spadesuit$(p？:例1.3.6)

$\infty \cdot 0$
$\sqrt{a}-\sqrt{b}$
注意负代换

$\bigstar$(题目的结论要记住) $\spadesuit$(p？:例1.3.7)

设置分母有原则，简单因式才下放
- 简单：$x^\alpha ,x^{\beta x}$
- 复杂：$ln(x),arcsin(x),arctan(x)$

$\spadesuit$(p?:例1.3.8) 泰勒展开

$\infty - \infty$

因式分解
通分（创造分母通分）
- 转换成0/0
和差化积

$\infty - \infty = \begin{cases} (1) & \text{有分母,则通分} \cr (2) & \text{没有分母，创造分母,再通分(倒代换)} \end{cases}$

$\spadesuit$(p？:1.3.10 )

有分母则同分

$\spadesuit$(p？:例1.3.11)

没有分母，创造分母再通分
$e^x-1-x \backsim \dfrac{1}{2}x^2(x \to 0)$

$\infty^0,0^0,1^{\infty}$

幂指函数

$\spadesuit$(p？:例1.3.12)

$\infty^0$
$\bigstar$(必考题) $(ln(x+\sqrt{1+x^2}))’=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\spadesuit$(p?:例1.3.13,例1.3.14 $1^\infty$)

$lim u^v$ $\buildrel \rm \dfrac{1}{\infty}\over{=}$ $e^{lim v lnu}=e^{lim v(u-1)}$

连续与间断

是函数极限的应用
连续和间断是逐点的概念
考题只看两类点
- 分段函数的分段点$\spadesuit$(p？:例1.3.20) $\spadesuit$(p？:例1.3.21)
- $\bigstar$ 函数的无定义点$\spadesuit$(p？:例1.3.22)

$\spadesuit$(p？:例1.3.20)

连续点的定义

极限值=函数值，连续

间断点的定义与分类

设函数$f(x)$再点$x_0$的某去心领域内有定义(前提，极限是一个过程)

$\color{green}{\text{可去间断点}}$ 、 $\color{green}{\text{跳跃间断点}}$ 是 $\color{red}{\text{第一类间断点}}$
$\color{green}{\text{无穷间断点}}$ 、 $\color{green}{\text{震荡间断点}}$ 是 $\color{red}{\text{第二类间断点}}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+ }xln(x)$
- $\blacktriangleright$(明明求导的时候x趋向0的速度是1，lnx趋向0的速度是无穷大，为什么其极限还是0)

$\sharp$ 菲赫金哥尔茨微积分教程

可去间断点

也叫可补间断点
两种情况

若$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = A \neq f(x_0)$
$f(x)$无定义

跳跃间断点

极限有两个值，跳跃间断点

无穷间断点

$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$

至少一个为无穷大

震荡间断点

$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)$ = 震荡不存在

$\displaystyle \lim_{x \to x_0}sin \dfrac{1}{x}$

高等数学 ch4.一元函数微分学的概念与计算

知识结构：概念，计算，应用

$\mho$(函数可导,导函数必定连续？)

概念

引例

导数的概念

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
角点
$f(x)=x^{\frac{1}{3}}$在$x=0$处的切线问题
- 连续不一定可导

$\spadesuit$(p6:7个结论)

$\spadesuit$(p60:例1.4.1)
- 用定义
- -0=+0

$\bigstar$(真题) $\spadesuit$(p61:例1.4.3)

$\bigstar$(真题) $(uv)’=u’v+uv’$

$\mho$(补充完过程)

$\begin{split} (uv)' &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cr &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \cr &= \end{split}$

$\mho$(一点可导一点必连续)

$\flat$(定理证明) 猜题：费马定理，牛顿莱布尼茨公式

$\spadesuit$(p61:例1.4.3)

$\mho$(重要材料)

错误的选项的方法：举反例

微分的概念

一元微积分一个东西在动，其他都不能动

增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x + o(\Delta x)$
线性主部(微分)+误差

$\spadesuit$(p?:例1.4.7)

导数与微分的计算

$\bigstar$(热点) $\spadesuit$(p62:例1.4.8)

tanx求导的推导

$\bigstar$(结论) $(ln(|x|))’=\dfrac{1}{x}$视绝对值而不见

导数除以其自己积分的原函数是$ln(u(x))$

$\spadesuit$(p?:例题1.4.10)

可导必连续，连续导数值等于函数值

双曲正弦，双曲余弦

$\spadesuit$(p:例1.4.13)

直接链式求导
先复合再求导

四则运算

分部积分：交换积分的位置

$(uv)\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

分段函数的导数

${\textstyle\unicode{x2460}}$ 在分段点用导数定义法求导数是否存在
- $\blacktriangleright$(为什么不能用求导公式)[难道是之前解释过的领域才有极限的概念]
${\textstyle\unicode{x2461}}$ 非分段点，用导数公式

复合函数的导数与微分形式不变性

微分形式不变 $df(\text{狗})=f’(\text{狗})d\text{狗}$
- 二阶微分形式没有这个性质

反函数的导数

$\varphi’(y)=\dfrac{1}{f’(x)},\varphi’’(y)=-\dfrac{f’’(x)}{ [ f’(x) ]^3 }$
$\spadesuit$(p4:反函数) 有反函数的充分条件是单调
$\spadesuit$(p91:例题1.6.8) $f’(x)$必保号
- 达布定理(有正有负必有零点)
- $\blacktriangleright$(？1.6.8导数零点定理和达布定理有关系吗)
$\spadesuit$(p64:例1.4.15)
$\clubsuit$ 变限积分函数 $\spadesuit$(p60:10)
- $S’(x)=\displaystyle \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)dt=g[\varphi_2(x)]\cdot \varphi_2’(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1’(x)$
$\sharp$
- $dx\cdot dx=dx^2$ 叫微分的幂
- $2xdx=d(x^2)$叫幂的微分
- p62
$\bigtriangledown$ $yx’$指的是y对x求导，$y{xx}’’$指的是y对x求二阶导，$x_y’$指的是x对y求导
$\mho$(反函数的工程意义)

参数方程所确定的函数的导数

$\spadesuit$(p65:例1.4.17) 二阶导

隐函数求导法

$\bigstar$(一天不能停)

公式法
- $F(x,y)=0$,$F’(x,y)=-\dfrac{F’x}{F’y}$
两边求导

$\bigstar$(使用性强) 对数求导法

图片详情

$\spadesuit$(p65:例1.4.19)

$ln$加绝对值求导可以视绝对值不变

$\bigstar$(命题要素) 幂指函数求导法

例题1

例题2

$\spadesuit$(p66:例题1.4.20)
- $y=x^x$
- $\mho$(画图) $xe^{\frac{1}{x}}$

高阶导数

归纳法

图片详情

$\spadesuit$(p66:例1.4.22)

直接归纳

$\spadesuit$(p67:例1.4.23)下面的框框

用诱导公式

莱布尼茨公式

图片详情

牛顿的二项展开

泰勒公式

零点展开叫麦克劳林公式
- 非零点叫泰勒公式

变限积分求导公式

基本求导公式

公式	题目
$(x^a)\prime=ax^{a-1}\text{(a为常数)}$
$(a^x)\prime=a^xlna(a>0,a\neq 1)$
$(e^x)\prime=e^x$
$(log_ax)\prime=\dfrac{1}{xlna}(a>0,a\neq 1)$
$(ln x)\prime=\dfrac{1}{x}$
$(sin x)\prime=cos x$
$(cos x)\prime=-sin x$
$(arcsin x)\prime=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(arccos x)\prime=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(tan x)\prime=sec^2x$	1
$(cot x)\prime=-csc^2x$
$(arctan x)\prime=\dfrac{1}{1+x^2}$
$(arccot x)\prime=-\dfrac{1}{1+x^2}$
$(sec x)\prime=sec x tan x$
$(csc x)\prime=-csc x cot x$
$[ln(x + \sqrt{x^2+1})]’=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$[ln(x + \sqrt{x^2-1})]’=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

跟 $\color{red}{\text{cos}}$ 相似度高的都会出现 $\color{green}{\text{负号}}$